Løs 2x^2-12x-1=0

$$2 { x }^{ 2 } -12x-1=0$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{38}}{2}+3\approx 6,082207001$$

$$x=-\frac{\sqrt{38}}{2}+3\approx -0,082207001$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$2x^{2}-12x-1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 2 for a, -12 for b og -1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrer -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -4 ganger 2.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -8 ganger -1.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+8}}{2\times 2}$$

Legg sammen 144 og 8.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{152}}{2\times 2}$$

Ta kvadratroten av 152.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±2\sqrt{38}}{2\times 2}$$

Det motsatte av -12 er 12.

$$x=\frac{12±2\sqrt{38}}{2\times 2}$$

Multipliser 2 ganger 2.

$$x=\frac{12±2\sqrt{38}}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{12±2\sqrt{38}}{4} når ± er pluss. Legg sammen 12 og 2\sqrt{38}.

$$x=\frac{2\sqrt{38}+12}{4}$$

Del 12+2\sqrt{38} på 4.

$$x=\frac{\sqrt{38}}{2}+3$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{12±2\sqrt{38}}{4} når ± er minus. Trekk fra 2\sqrt{38} fra 12.

$$x=\frac{12-2\sqrt{38}}{4}$$

Del 12-2\sqrt{38} på 4.

$$x=-\frac{\sqrt{38}}{2}+3$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{38}}{2}+3 x=-\frac{\sqrt{38}}{2}+3$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-12x-1=0$$

Legg til 1 på begge sider av ligningen.

$$2x^{2}-12x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Når du trekker fra -1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$2x^{2}-12x=-\left(-1\right)$$

Trekk fra -1 fra 0.

$$2x^{2}-12x=1$$

Del begge sidene på 2.

$$\frac{2x^{2}-12x}{2}=\frac{1}{2}$$

Hvis du deler på 2, gjør du om gangingen med 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{2}\right)x=\frac{1}{2}$$

Del -12 på 2.

$$x^{2}-6x=\frac{1}{2}$$

Del -6, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -3. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -3 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-3\right)^{2}$$

Kvadrer -3.

$$x^{2}-6x+9=\frac{1}{2}+9$$

Legg sammen \frac{1}{2} og 9.

$$x^{2}-6x+9=\frac{19}{2}$$

Faktoriser x^{2}-6x+9. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=\frac{19}{2}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{\frac{19}{2}}$$

Forenkle.

$$x-3=\frac{\sqrt{38}}{2} x-3=-\frac{\sqrt{38}}{2}$$

Legg til 3 på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{38}}{2}+3 x=-\frac{\sqrt{38}}{2}+3$$