Løs 2x^2-11x-40=0

$$2 { x }^{ 2 } -11x-40=0$$

Løs for x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=8$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 2x^{2}+ax+bx-40. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-11 ab=2\left(-40\right)=-80$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -80.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

Løsningen er paret som gir Summer -11.

$$a=-16 b=5$$

Skriv om 2x^{2}-11x-40 som \left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right).

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right)$$

Faktor ut 2x i den første og 5 i den andre gruppen.

$$2x\left(x-8\right)+5\left(x-8\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-8 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-8=0 og 2x+5=0.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 2 for a, -11 for b og -40 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrer -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -4 ganger 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -8 ganger -40.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+320}}{2\times 2}$$

Legg sammen 121 og 320.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

Ta kvadratroten av 441.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±21}{2\times 2}$$

Det motsatte av -11 er 11.

$$x=\frac{11±21}{2\times 2}$$

Multipliser 2 ganger 2.

$$x=\frac{11±21}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{11±21}{4} når ± er pluss. Legg sammen 11 og 21.

$$x=\frac{32}{4}$$

Del 32 på 4.

$$x=8$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{11±21}{4} når ± er minus. Trekk fra 21 fra 11.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Forkort brøken \frac{-10}{4} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Legg til 40 på begge sider av ligningen.

$$2x^{2}-11x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

Når du trekker fra -40 fra seg selv har du 0 igjen.

$$2x^{2}-11x=-\left(-40\right)$$

Trekk fra -40 fra 0.

$$2x^{2}-11x=40$$

Del begge sidene på 2.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=\frac{40}{2}$$

Hvis du deler på 2, gjør du om gangingen med 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{40}{2}$$

Del 40 på 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=20$$

Del -\frac{11}{2}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{11}{4}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{11}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=20+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{11}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=20+\frac{121}{16}$$

Legg sammen 20 og \frac{121}{16}.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{441}{16}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{21}{4}$$

Legg til \frac{11}{4} på begge sider av ligningen.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$