Løs 2x^2+x-6=30

$$2 { x }^{ 2 } +x-6=30$$

Løs for x

$$x = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4,5$$

$$x=4$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Trekk fra 30 fra begge sider.

$$2x^{2}+x-6-30=0$$

Trekk fra 30 fra -6 for å få -36.

$$2x^{2}+x-36=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 2x^{2}+ax+bx-36. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=1 ab=2\left(-36\right)=-72$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Løsningen er paret som gir Summer 1.

$$a=-8 b=9$$

Skriv om 2x^{2}+x-36 som \left(2x^{2}-8x\right)+\left(9x-36\right).

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(9x-36\right)$$

Faktor ut 2x i den første og 9 i den andre gruppen.

$$2x\left(x-4\right)+9\left(x-4\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-4 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-4\right)\left(2x+9\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-4=0 og 2x+9=0.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$2x^{2}+x-6=30$$

Trekk fra 30 fra begge sider av ligningen.

$$2x^{2}+x-6-30=30-30$$

Når du trekker fra 30 fra seg selv har du 0 igjen.

$$2x^{2}+x-6-30=0$$

Trekk fra 30 fra -6.

$$2x^{2}+x-36=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 2 for a, 1 for b og -36 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrer 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -4 ganger 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -8 ganger -36.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+288}}{2\times 2}$$

Legg sammen 1 og 288.

$$x=\frac{-1±\sqrt{289}}{2\times 2}$$

Ta kvadratroten av 289.

$$x=\frac{-1±17}{2\times 2}$$

Multipliser 2 ganger 2.

$$x=\frac{-1±17}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-1±17}{4} når ± er pluss. Legg sammen -1 og 17.

$$x=\frac{16}{4}$$

Del 16 på 4.

$$x=4$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-1±17}{4} når ± er minus. Trekk fra 17 fra -1.

$$x=-\frac{18}{4}$$

Forkort brøken \frac{-18}{4} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=-\frac{9}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+x-6=30$$

Legg til 6 på begge sider av ligningen.

$$2x^{2}+x-6-\left(-6\right)=30-\left(-6\right)$$

Når du trekker fra -6 fra seg selv har du 0 igjen.

$$2x^{2}+x=30-\left(-6\right)$$

Trekk fra -6 fra 30.

$$2x^{2}+x=36$$

Del begge sidene på 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=\frac{36}{2}$$

Hvis du deler på 2, gjør du om gangingen med 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{36}{2}$$

Del 36 på 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=18$$

Del \frac{1}{2}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{1}{4}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{1}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=18+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{1}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=18+\frac{1}{16}$$

Legg sammen 18 og \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{289}{16}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{289}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{16}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{17}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{17}{4}$$

Trekk fra \frac{1}{4} fra begge sider av ligningen.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$