Løs 2x^2+x+3=0

$$2 { x }^{ 2 } +x+3=0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4}\approx -0,25+1,198957881i$$

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}\approx -0,25-1,198957881i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$2x^{2}+x+3=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 2 for a, 1 for b og 3 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

Kvadrer 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

Multipliser -4 ganger 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\times 3}}{2\times 2}$$

Multipliser -8 ganger 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-24}}{2\times 2}$$

Legg sammen 1 og -24.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-23}}{2\times 2}$$

Ta kvadratroten av -23.

$$x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{2\times 2}$$

Multipliser 2 ganger 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{4} når ± er pluss. Legg sammen -1 og i\sqrt{23}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{4} når ± er minus. Trekk fra i\sqrt{23} fra -1.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+x+3=0$$

Trekk fra 3 fra begge sider av ligningen.

$$2x^{2}+x+3-3=-3$$

Når du trekker fra 3 fra seg selv har du 0 igjen.

$$2x^{2}+x=-3$$

Del begge sidene på 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=-\frac{3}{2}$$

Hvis du deler på 2, gjør du om gangingen med 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-\frac{3}{2}$$

Del \frac{1}{2}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{1}{4}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{1}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{1}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{3}{2}+\frac{1}{16}$$

Legg sammen -\frac{3}{2} og \frac{1}{16} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{23}{16}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{23}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{16}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{23}i}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{23}i}{4}$$

Trekk fra \frac{1}{4} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}$$