Løs 2x^2+9x+9=0

$$2 { x }^{ 2 } +9x+9=0$$

Løs for x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x=-3$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 2x^{2}+ax+bx+9. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=9 ab=2\times 9=18$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er positiv, er a og b positive. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 18.

$$1,18 2,9 3,6$$

Beregn summen for hvert par.

$$1+18=19 2+9=11 3+6=9$$

Løsningen er paret som gir Summer 9.

$$a=3 b=6$$

Skriv om 2x^{2}+9x+9 som \left(2x^{2}+3x\right)+\left(6x+9\right).

$$\left(2x^{2}+3x\right)+\left(6x+9\right)$$

Faktor ut x i den første og 3 i den andre gruppen.

$$x\left(2x+3\right)+3\left(2x+3\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 2x+3 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(2x+3\right)\left(x+3\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 2x+3=0 og x+3=0.

$$x=-\frac{3}{2} x=-3$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$2x^{2}+9x+9=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 2 for a, 9 for b og 9 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

Kvadrer 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

Multipliser -4 ganger 2.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-8\times 9}}{2\times 2}$$

Multipliser -8 ganger 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-72}}{2\times 2}$$

Legg sammen 81 og -72.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Ta kvadratroten av 9.

$$x=\frac{-9±3}{2\times 2}$$

Multipliser 2 ganger 2.

$$x=\frac{-9±3}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-9±3}{4} når ± er pluss. Legg sammen -9 og 3.

$$x=-\frac{6}{4}$$

Forkort brøken \frac{-6}{4} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-9±3}{4} når ± er minus. Trekk fra 3 fra -9.

$$x=-\frac{12}{4}$$

Del -12 på 4.

$$x=-3$$

Ligningen er nå løst.

$$x=-\frac{3}{2} x=-3$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+9x+9=0$$

Trekk fra 9 fra begge sider av ligningen.

$$2x^{2}+9x+9-9=-9$$

Når du trekker fra 9 fra seg selv har du 0 igjen.

$$2x^{2}+9x=-9$$

Del begge sidene på 2.

$$\frac{2x^{2}+9x}{2}=-\frac{9}{2}$$

Hvis du deler på 2, gjør du om gangingen med 2.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x=-\frac{9}{2}$$

Del \frac{9}{2}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{9}{4}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{9}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{9}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{9}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-\frac{9}{2}+\frac{81}{16}$$

Legg sammen -\frac{9}{2} og \frac{81}{16} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{9}{16}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{9}{4}=\frac{3}{4} x+\frac{9}{4}=-\frac{3}{4}$$

Trekk fra \frac{9}{4} fra begge sider av ligningen.

$$x=-\frac{3}{2} x=-3$$