Løs 2x^2+3x+1>0

$$2 { x }^{ 2 } +3x+1 > 0$$

Løs for x

$$x\in \left(-\infty,-1\right)\cup \left(-\frac{1}{2},\infty\right)$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Faktoriser venstre side for å løse ulikheten. Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+3x+1=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 2 med a, 3 med b, og 1 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\times 1}}{2\times 2}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{-3±1}{4}$$

Løs ligningen x=\frac{-3±1}{4} når ± er pluss og ± er minus.

$$x=-\frac{1}{2} x=-1$$

Skriv om ulikheten ved hjelp av de oppnådde løsningene.

$$2\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x+1\right)>0$$

Hvis produktet skal være positivt, x+\frac{1}{2} og x+1 må være både negative eller positive. Vurder saken når både x+\frac{1}{2} og x+1 er negative.

$$x+\frac{1}{2}<0 x+1<0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x<-1.

$$x<-1$$

Vurder saken når x+\frac{1}{2} og x+1 er positive.

$$x+1>0 x+\frac{1}{2}>0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x>-\frac{1}{2}.

$$x>-\frac{1}{2}$$

Den siste løsningen er unionen av de oppnådde løsningene.

$$x<-1\text{; }x>-\frac{1}{2}$$