Løs 2x^2+13x-24=0

$$2 { x }^{ 2 } +13x-24=0$$

Løs for x

$$x=-8$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 2x^{2}+ax+bx-24. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=13 ab=2\left(-24\right)=-48$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

Løsningen er paret som gir Summer 13.

$$a=-3 b=16$$

Skriv om 2x^{2}+13x-24 som \left(2x^{2}-3x\right)+\left(16x-24\right).

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(16x-24\right)$$

Faktor ut x i den første og 8 i den andre gruppen.

$$x\left(2x-3\right)+8\left(2x-3\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 2x-3 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(2x-3\right)\left(x+8\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 2x-3=0 og x+8=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-8$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$2x^{2}+13x-24=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 2 for a, 13 for b og -24 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrer 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -4 ganger 2.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-8\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -8 ganger -24.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+192}}{2\times 2}$$

Legg sammen 169 og 192.

$$x=\frac{-13±\sqrt{361}}{2\times 2}$$

Ta kvadratroten av 361.

$$x=\frac{-13±19}{2\times 2}$$

Multipliser 2 ganger 2.

$$x=\frac{-13±19}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-13±19}{4} når ± er pluss. Legg sammen -13 og 19.

$$x=\frac{6}{4}$$

Forkort brøken \frac{6}{4} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-13±19}{4} når ± er minus. Trekk fra 19 fra -13.

$$x=-\frac{32}{4}$$

Del -32 på 4.

$$x=-8$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{3}{2} x=-8$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+13x-24=0$$

Legg til 24 på begge sider av ligningen.

$$2x^{2}+13x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Når du trekker fra -24 fra seg selv har du 0 igjen.

$$2x^{2}+13x=-\left(-24\right)$$

Trekk fra -24 fra 0.

$$2x^{2}+13x=24$$

Del begge sidene på 2.

$$\frac{2x^{2}+13x}{2}=\frac{24}{2}$$

Hvis du deler på 2, gjør du om gangingen med 2.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x=\frac{24}{2}$$

Del 24 på 2.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x=12$$

Del \frac{13}{2}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{13}{4}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{13}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\left(\frac{13}{4}\right)^{2}=12+\left(\frac{13}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{13}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=12+\frac{169}{16}$$

Legg sammen 12 og \frac{169}{16}.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{361}{16}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{361}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{16}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{13}{4}=\frac{19}{4} x+\frac{13}{4}=-\frac{19}{4}$$

Trekk fra \frac{13}{4} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{3}{2} x=-8$$