Løs 2*sqrt{x+1}+sqrt{x+2}=3

$$2 \cdot \sqrt { x + 1 } + \sqrt { x + 2 } = 3$$

Løs for x

$$x=\frac{13-8\sqrt{3}}{3}\approx -0,28546882$$

Løsningstrinn

Trekk fra \sqrt{x+2} fra begge sider av ligningen.

$$2\sqrt{x+1}=3-\sqrt{x+2}$$

Kvadrer begge sider av ligningen.

$$\left(2\sqrt{x+1}\right)^{2}=\left(3-\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Utvid \left(2\sqrt{x+1}\right)^{2}.

$$2^{2}\left(\sqrt{x+1}\right)^{2}=\left(3-\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Regn ut 2 opphøyd i 2 og få 4.

$$4\left(\sqrt{x+1}\right)^{2}=\left(3-\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{x+1} opphøyd i 2 og få x+1.

$$4\left(x+1\right)=\left(3-\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 4 med x+1.

$$4x+4=\left(3-\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(3-\sqrt{x+2}\right)^{2}.

$$4x+4=9-6\sqrt{x+2}+\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{x+2} opphøyd i 2 og få x+2.

$$4x+4=9-6\sqrt{x+2}+x+2$$

Legg sammen 9 og 2 for å få 11.

$$4x+4=11-6\sqrt{x+2}+x$$

Trekk fra 11+x fra begge sider av ligningen.

$$4x+4-\left(11+x\right)=-6\sqrt{x+2}$$

Du finner den motsatte av 11+x ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$4x+4-11-x=-6\sqrt{x+2}$$

Trekk fra 11 fra 4 for å få -7.

$$4x-7-x=-6\sqrt{x+2}$$

Kombiner 4x og -x for å få 3x.

$$3x-7=-6\sqrt{x+2}$$

Kvadrer begge sider av ligningen.

$$\left(3x-7\right)^{2}=\left(-6\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(3x-7\right)^{2}.

$$9x^{2}-42x+49=\left(-6\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Utvid \left(-6\sqrt{x+2}\right)^{2}.

$$9x^{2}-42x+49=\left(-6\right)^{2}\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Regn ut -6 opphøyd i 2 og få 36.

$$9x^{2}-42x+49=36\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{x+2} opphøyd i 2 og få x+2.

$$9x^{2}-42x+49=36\left(x+2\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 36 med x+2.

$$9x^{2}-42x+49=36x+72$$

Trekk fra 36x fra begge sider.

$$9x^{2}-42x+49-36x=72$$

Kombiner -42x og -36x for å få -78x.

$$9x^{2}-78x+49=72$$

Trekk fra 72 fra begge sider.

$$9x^{2}-78x+49-72=0$$

Trekk fra 72 fra 49 for å få -23.

$$9x^{2}-78x-23=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 9 for a, -78 for b og -23 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-78\right)±\sqrt{\left(-78\right)^{2}-4\times 9\left(-23\right)}}{2\times 9}$$

Kvadrer -78.

$$x=\frac{-\left(-78\right)±\sqrt{6084-4\times 9\left(-23\right)}}{2\times 9}$$

Multipliser -4 ganger 9.

$$x=\frac{-\left(-78\right)±\sqrt{6084-36\left(-23\right)}}{2\times 9}$$

Multipliser -36 ganger -23.

$$x=\frac{-\left(-78\right)±\sqrt{6084+828}}{2\times 9}$$

Legg sammen 6084 og 828.

$$x=\frac{-\left(-78\right)±\sqrt{6912}}{2\times 9}$$

Ta kvadratroten av 6912.

$$x=\frac{-\left(-78\right)±48\sqrt{3}}{2\times 9}$$

Det motsatte av -78 er 78.

$$x=\frac{78±48\sqrt{3}}{2\times 9}$$

Multipliser 2 ganger 9.

$$x=\frac{78±48\sqrt{3}}{18}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{78±48\sqrt{3}}{18} når ± er pluss. Legg sammen 78 og 48\sqrt{3}.

$$x=\frac{48\sqrt{3}+78}{18}$$

Del 78+48\sqrt{3} på 18.

$$x=\frac{8\sqrt{3}+13}{3}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{78±48\sqrt{3}}{18} når ± er minus. Trekk fra 48\sqrt{3} fra 78.

$$x=\frac{78-48\sqrt{3}}{18}$$

Del 78-48\sqrt{3} på 18.

$$x=\frac{13-8\sqrt{3}}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{8\sqrt{3}+13}{3} x=\frac{13-8\sqrt{3}}{3}$$

Erstatt \frac{8\sqrt{3}+13}{3} med x i ligningen 2\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}=3.

$$2\sqrt{\frac{8\sqrt{3}+13}{3}+1}+\sqrt{\frac{8\sqrt{3}+13}{3}+2}=3$$

Forenkle. Verdien x=\frac{8\sqrt{3}+13}{3} oppfyller ikke formelen.

$$5+\frac{8}{3}\times 3^{\frac{1}{2}}=3$$

Erstatt \frac{13-8\sqrt{3}}{3} med x i ligningen 2\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}=3.

$$2\sqrt{\frac{13-8\sqrt{3}}{3}+1}+\sqrt{\frac{13-8\sqrt{3}}{3}+2}=3$$

Forenkle. Verdien x=\frac{13-8\sqrt{3}}{3} tilfredsstiller ligningen.

$$3=3$$

Ligningen 2\sqrt{x+1}=-\sqrt{x+2}+3 har en unik løsning.

$$x=\frac{13-8\sqrt{3}}{3}$$