Løs 19x^2-15x+45=0

$$19 x ^ { 2 } - 15 x + 45 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{15+3\sqrt{355}i}{38}\approx 0,394736842+1,487482396i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{355}i+15}{38}\approx 0,394736842-1,487482396i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$19x^{2}-15x+45=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 19 for a, -15 for b og 45 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 19\times 45}}{2\times 19}$$

Kvadrer -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 19\times 45}}{2\times 19}$$

Multipliser -4 ganger 19.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-76\times 45}}{2\times 19}$$

Multipliser -76 ganger 45.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-3420}}{2\times 19}$$

Legg sammen 225 og -3420.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{-3195}}{2\times 19}$$

Ta kvadratroten av -3195.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±3\sqrt{355}i}{2\times 19}$$

Det motsatte av -15 er 15.

$$x=\frac{15±3\sqrt{355}i}{2\times 19}$$

Multipliser 2 ganger 19.

$$x=\frac{15±3\sqrt{355}i}{38}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{15±3\sqrt{355}i}{38} når ± er pluss. Legg sammen 15 og 3i\sqrt{355}.

$$x=\frac{15+3\sqrt{355}i}{38}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{15±3\sqrt{355}i}{38} når ± er minus. Trekk fra 3i\sqrt{355} fra 15.

$$x=\frac{-3\sqrt{355}i+15}{38}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{15+3\sqrt{355}i}{38} x=\frac{-3\sqrt{355}i+15}{38}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$19x^{2}-15x+45=0$$

Trekk fra 45 fra begge sider av ligningen.

$$19x^{2}-15x+45-45=-45$$

Når du trekker fra 45 fra seg selv har du 0 igjen.

$$19x^{2}-15x=-45$$

Del begge sidene på 19.

$$\frac{19x^{2}-15x}{19}=-\frac{45}{19}$$

Hvis du deler på 19, gjør du om gangingen med 19.

$$x^{2}-\frac{15}{19}x=-\frac{45}{19}$$

Del -\frac{15}{19}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{15}{38}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{15}{38} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{15}{19}x+\left(-\frac{15}{38}\right)^{2}=-\frac{45}{19}+\left(-\frac{15}{38}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{15}{38} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{15}{19}x+\frac{225}{1444}=-\frac{45}{19}+\frac{225}{1444}$$

Legg sammen -\frac{45}{19} og \frac{225}{1444} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{15}{19}x+\frac{225}{1444}=-\frac{3195}{1444}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{15}{19}x+\frac{225}{1444}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{38}\right)^{2}=-\frac{3195}{1444}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{38}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3195}{1444}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{15}{38}=\frac{3\sqrt{355}i}{38} x-\frac{15}{38}=-\frac{3\sqrt{355}i}{38}$$

Legg til \frac{15}{38} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{15+3\sqrt{355}i}{38} x=\frac{-3\sqrt{355}i+15}{38}$$