Løs 19x^2-14x+4122=0

$$19 x ^ { 2 } - 14 x + 4122 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{7+\sqrt{78269}i}{19}\approx 0,368421053+14,724524928i$$

$$x=\frac{-\sqrt{78269}i+7}{19}\approx 0,368421053-14,724524928i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$19x^{2}-14x+4122=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 19 for a, -14 for b og 4122 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 19\times 4122}}{2\times 19}$$

Kvadrer -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 19\times 4122}}{2\times 19}$$

Multipliser -4 ganger 19.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-76\times 4122}}{2\times 19}$$

Multipliser -76 ganger 4122.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-313272}}{2\times 19}$$

Legg sammen 196 og -313272.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{-313076}}{2\times 19}$$

Ta kvadratroten av -313076.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{78269}i}{2\times 19}$$

Det motsatte av -14 er 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{78269}i}{2\times 19}$$

Multipliser 2 ganger 19.

$$x=\frac{14±2\sqrt{78269}i}{38}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{14±2\sqrt{78269}i}{38} når ± er pluss. Legg sammen 14 og 2i\sqrt{78269}.

$$x=\frac{14+2\sqrt{78269}i}{38}$$

Del 14+2i\sqrt{78269} på 38.

$$x=\frac{7+\sqrt{78269}i}{19}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{14±2\sqrt{78269}i}{38} når ± er minus. Trekk fra 2i\sqrt{78269} fra 14.

$$x=\frac{-2\sqrt{78269}i+14}{38}$$

Del 14-2i\sqrt{78269} på 38.

$$x=\frac{-\sqrt{78269}i+7}{19}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{7+\sqrt{78269}i}{19} x=\frac{-\sqrt{78269}i+7}{19}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$19x^{2}-14x+4122=0$$

Trekk fra 4122 fra begge sider av ligningen.

$$19x^{2}-14x+4122-4122=-4122$$

Når du trekker fra 4122 fra seg selv har du 0 igjen.

$$19x^{2}-14x=-4122$$

Del begge sidene på 19.

$$\frac{19x^{2}-14x}{19}=-\frac{4122}{19}$$

Hvis du deler på 19, gjør du om gangingen med 19.

$$x^{2}-\frac{14}{19}x=-\frac{4122}{19}$$

Del -\frac{14}{19}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{7}{19}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{7}{19} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{14}{19}x+\left(-\frac{7}{19}\right)^{2}=-\frac{4122}{19}+\left(-\frac{7}{19}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{7}{19} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{14}{19}x+\frac{49}{361}=-\frac{4122}{19}+\frac{49}{361}$$

Legg sammen -\frac{4122}{19} og \frac{49}{361} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{14}{19}x+\frac{49}{361}=-\frac{78269}{361}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{14}{19}x+\frac{49}{361}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{19}\right)^{2}=-\frac{78269}{361}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{19}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{78269}{361}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{7}{19}=\frac{\sqrt{78269}i}{19} x-\frac{7}{19}=-\frac{\sqrt{78269}i}{19}$$

Legg til \frac{7}{19} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{7+\sqrt{78269}i}{19} x=\frac{-\sqrt{78269}i+7}{19}$$