Løs 18x^2-9x-5=0

$$18 { x }^{ 2 } -9x-5 = 0$$

Løs for x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0,833333333$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen faktoriserer du venstre side ved å gruppere. Først må venstre side omskrives som 18x^{2}+ax+bx-5. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-9 ab=18\left(-5\right)=-90$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Løsningen er paret som gir Summer -9.

$$a=-15 b=6$$

Skriv om 18x^{2}-9x-5 som \left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right).

$$\left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right)$$

Faktorer ut 3x i 18x^{2}-15x.

$$3x\left(6x-5\right)+6x-5$$

Faktorer ut det felles leddet 6x-5 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(6x-5\right)\left(3x+1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 6x-5=0 og 3x+1=0.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 18 for a, -9 for b og -5 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Kvadrer -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Multipliser -4 ganger 18.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Multipliser -72 ganger -5.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 18}$$

Legg sammen 81 og 360.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

Ta kvadratroten av 441.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 18}$$

Det motsatte av -9 er 9.

$$x=\frac{9±21}{2\times 18}$$

Multipliser 2 ganger 18.

$$x=\frac{9±21}{36}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{9±21}{36} når ± er pluss. Legg sammen 9 og 21.

$$x=\frac{30}{36}$$

Forkort brøken \frac{30}{36} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 6.

$$x=\frac{5}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{9±21}{36} når ± er minus. Trekk fra 21 fra 9.

$$x=-\frac{12}{36}$$

Forkort brøken \frac{-12}{36} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 12.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Legg til 5 på begge sider av ligningen.

$$18x^{2}-9x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Når du trekker fra -5 fra seg selv har du 0 igjen.

$$18x^{2}-9x=-\left(-5\right)$$

Trekk fra -5 fra 0.

$$18x^{2}-9x=5$$

Del begge sidene på 18.

$$\frac{18x^{2}-9x}{18}=\frac{5}{18}$$

Hvis du deler på 18, gjør du om gangingen med 18.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{18}\right)x=\frac{5}{18}$$

Forkort brøken \frac{-9}{18} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 9.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{5}{18}$$

Divider -\frac{1}{2}, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -\frac{1}{4}. Legg deretter til kvadratet av -\frac{1}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{18}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{1}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{18}+\frac{1}{16}$$

Legg sammen \frac{5}{18} og \frac{1}{16} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{49}{144}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{7}{12} x-\frac{1}{4}=-\frac{7}{12}$$

Legg til \frac{1}{4} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$