Løs 18x^2-27x+4=0

$$18 { x }^{ 2 } -27x+4=0$$

Løs for x

$$x=\frac{1}{6}\approx 0,166666667$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 18x^{2}+ax+bx+4. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-27 ab=18\times 4=72$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 72.

$$-1,-72 -2,-36 -3,-24 -4,-18 -6,-12 -8,-9$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-72=-73 -2-36=-38 -3-24=-27 -4-18=-22 -6-12=-18 -8-9=-17$$

Løsningen er paret som gir Summer -27.

$$a=-24 b=-3$$

Skriv om 18x^{2}-27x+4 som \left(18x^{2}-24x\right)+\left(-3x+4\right).

$$\left(18x^{2}-24x\right)+\left(-3x+4\right)$$

Faktor ut 6x i den første og -1 i den andre gruppen.

$$6x\left(3x-4\right)-\left(3x-4\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 3x-4 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(3x-4\right)\left(6x-1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 3x-4=0 og 6x-1=0.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{1}{6}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$18x^{2}-27x+4=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 18 for a, -27 for b og 4 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{\left(-27\right)^{2}-4\times 18\times 4}}{2\times 18}$$

Kvadrer -27.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-4\times 18\times 4}}{2\times 18}$$

Multipliser -4 ganger 18.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-72\times 4}}{2\times 18}$$

Multipliser -72 ganger 4.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-288}}{2\times 18}$$

Legg sammen 729 og -288.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

Ta kvadratroten av 441.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±21}{2\times 18}$$

Det motsatte av -27 er 27.

$$x=\frac{27±21}{2\times 18}$$

Multipliser 2 ganger 18.

$$x=\frac{27±21}{36}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{27±21}{36} når ± er pluss. Legg sammen 27 og 21.

$$x=\frac{48}{36}$$

Forkort brøken \frac{48}{36} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 12.

$$x=\frac{4}{3}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{27±21}{36} når ± er minus. Trekk fra 21 fra 27.

$$x=\frac{6}{36}$$

Forkort brøken \frac{6}{36} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 6.

$$x=\frac{1}{6}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{1}{6}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$18x^{2}-27x+4=0$$

Trekk fra 4 fra begge sider av ligningen.

$$18x^{2}-27x+4-4=-4$$

Når du trekker fra 4 fra seg selv har du 0 igjen.

$$18x^{2}-27x=-4$$

Del begge sidene på 18.

$$\frac{18x^{2}-27x}{18}=-\frac{4}{18}$$

Hvis du deler på 18, gjør du om gangingen med 18.

$$x^{2}+\left(-\frac{27}{18}\right)x=-\frac{4}{18}$$

Forkort brøken \frac{-27}{18} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 9.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{4}{18}$$

Forkort brøken \frac{-4}{18} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{2}{9}$$

Del -\frac{3}{2}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{3}{4}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{3}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{3}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{2}{9}+\frac{9}{16}$$

Legg sammen -\frac{2}{9} og \frac{9}{16} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{49}{144}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{7}{12} x-\frac{3}{4}=-\frac{7}{12}$$

Legg til \frac{3}{4} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{1}{6}$$