Løs 169a^2+456a+144geq0

$$169 a ^ { 2 } + 456 a + 144 \geq 0$$

Løs for a

$$a\in (-\infty,\frac{-96\sqrt{3}-228}{169}]\cup [\frac{96\sqrt{3}-228}{169},\infty)$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Faktoriser venstre side for å løse ulikheten. Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$169a^{2}+456a+144=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 169 med a, 456 med b, og 144 med c i den kvadratiske ligningen.

$$a=\frac{-456±\sqrt{456^{2}-4\times 169\times 144}}{2\times 169}$$

Utfør beregningene.

$$a=\frac{-456±192\sqrt{3}}{338}$$

Løs ligningen a=\frac{-456±192\sqrt{3}}{338} når ± er pluss og ± er minus.

$$a=\frac{96\sqrt{3}-228}{169} a=\frac{-96\sqrt{3}-228}{169}$$

Skriv om ulikheten ved hjelp av de oppnådde løsningene.

$$169\left(a-\frac{96\sqrt{3}-228}{169}\right)\left(a-\frac{-96\sqrt{3}-228}{169}\right)\geq 0$$

For at produktet skal være ≥0, a-\frac{96\sqrt{3}-228}{169} og a-\frac{-96\sqrt{3}-228}{169} må være både ≤0 eller begge ≥0. Vurder saken når a-\frac{96\sqrt{3}-228}{169} og a-\frac{-96\sqrt{3}-228}{169} er begge ≤0.

$$a-\frac{96\sqrt{3}-228}{169}\leq 0 a-\frac{-96\sqrt{3}-228}{169}\leq 0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er a\leq \frac{-96\sqrt{3}-228}{169}.

$$a\leq \frac{-96\sqrt{3}-228}{169}$$

Vurder saken når a-\frac{96\sqrt{3}-228}{169} og a-\frac{-96\sqrt{3}-228}{169} er begge ≥0.

$$a-\frac{-96\sqrt{3}-228}{169}\geq 0 a-\frac{96\sqrt{3}-228}{169}\geq 0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er a\geq \frac{96\sqrt{3}-228}{169}.

$$a\geq \frac{96\sqrt{3}-228}{169}$$

Den siste løsningen er unionen av de oppnådde løsningene.

$$a\leq \frac{-96\sqrt{3}-228}{169}\text{; }a\geq \frac{96\sqrt{3}-228}{169}$$