Løs 16x^2-64x+65=0

$$16 x ^ { 2 } - 64 x + 65 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=2+\frac{1}{4}i=2+0,25i$$

$$x=2-\frac{1}{4}i=2-0,25i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$16x^{2}-64x+65=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 16 for a, -64 for b og 65 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{\left(-64\right)^{2}-4\times 16\times 65}}{2\times 16}$$

Kvadrer -64.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-4\times 16\times 65}}{2\times 16}$$

Multipliser -4 ganger 16.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-64\times 65}}{2\times 16}$$

Multipliser -64 ganger 65.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-4160}}{2\times 16}$$

Legg sammen 4096 og -4160.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{-64}}{2\times 16}$$

Ta kvadratroten av -64.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±8i}{2\times 16}$$

Det motsatte av -64 er 64.

$$x=\frac{64±8i}{2\times 16}$$

Multipliser 2 ganger 16.

$$x=\frac{64±8i}{32}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{64±8i}{32} når ± er pluss. Legg sammen 64 og 8i.

$$x=\frac{64+8i}{32}$$

Del 64+8i på 32.

$$x=2+\frac{1}{4}i$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{64±8i}{32} når ± er minus. Trekk fra 8i fra 64.

$$x=\frac{64-8i}{32}$$

Del 64-8i på 32.

$$x=2-\frac{1}{4}i$$

Ligningen er nå løst.

$$x=2+\frac{1}{4}i x=2-\frac{1}{4}i$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}-64x+65=0$$

Trekk fra 65 fra begge sider av ligningen.

$$16x^{2}-64x+65-65=-65$$

Når du trekker fra 65 fra seg selv har du 0 igjen.

$$16x^{2}-64x=-65$$

Del begge sidene på 16.

$$\frac{16x^{2}-64x}{16}=-\frac{65}{16}$$

Hvis du deler på 16, gjør du om gangingen med 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{64}{16}\right)x=-\frac{65}{16}$$

Del -64 på 16.

$$x^{2}-4x=-\frac{65}{16}$$

Del -4, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -2. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -2 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-\frac{65}{16}+\left(-2\right)^{2}$$

Kvadrer -2.

$$x^{2}-4x+4=-\frac{65}{16}+4$$

Legg sammen -\frac{65}{16} og 4.

$$x^{2}-4x+4=-\frac{1}{16}$$

Faktoriser x^{2}-4x+4. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=-\frac{1}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{16}}$$

Forenkle.

$$x-2=\frac{1}{4}i x-2=-\frac{1}{4}i$$

Legg til 2 på begge sider av ligningen.

$$x=2+\frac{1}{4}i x=2-\frac{1}{4}i$$