Løs 16x^2+8x-3=0

$$16 x ^ { 2 } + 8 x - 3 = 0$$

Løs for x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 16x^{2}+ax+bx-3. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=8 ab=16\left(-3\right)=-48$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

Løsningen er paret som gir Summer 8.

$$a=-4 b=12$$

Skriv om 16x^{2}+8x-3 som \left(16x^{2}-4x\right)+\left(12x-3\right).

$$\left(16x^{2}-4x\right)+\left(12x-3\right)$$

Faktor ut 4x i den første og 3 i den andre gruppen.

$$4x\left(4x-1\right)+3\left(4x-1\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 4x-1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(4x-1\right)\left(4x+3\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 4x-1=0 og 4x+3=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$16x^{2}+8x-3=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 16 for a, 8 for b og -3 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Kvadrer 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Multipliser -4 ganger 16.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-64\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Multipliser -64 ganger -3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+192}}{2\times 16}$$

Legg sammen 64 og 192.

$$x=\frac{-8±\sqrt{256}}{2\times 16}$$

Ta kvadratroten av 256.

$$x=\frac{-8±16}{2\times 16}$$

Multipliser 2 ganger 16.

$$x=\frac{-8±16}{32}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-8±16}{32} når ± er pluss. Legg sammen -8 og 16.

$$x=\frac{8}{32}$$

Forkort brøken \frac{8}{32} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 8.

$$x=\frac{1}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-8±16}{32} når ± er minus. Trekk fra 16 fra -8.

$$x=-\frac{24}{32}$$

Forkort brøken \frac{-24}{32} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 8.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}+8x-3=0$$

Legg til 3 på begge sider av ligningen.

$$16x^{2}+8x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Når du trekker fra -3 fra seg selv har du 0 igjen.

$$16x^{2}+8x=-\left(-3\right)$$

Trekk fra -3 fra 0.

$$16x^{2}+8x=3$$

Del begge sidene på 16.

$$\frac{16x^{2}+8x}{16}=\frac{3}{16}$$

Hvis du deler på 16, gjør du om gangingen med 16.

$$x^{2}+\frac{8}{16}x=\frac{3}{16}$$

Forkort brøken \frac{8}{16} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 8.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{3}{16}$$

Del \frac{1}{2}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{1}{4}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{1}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{3}{16}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{1}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{3+1}{16}$$

Legg sammen \frac{3}{16} og \frac{1}{16} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2} x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}$$

Trekk fra \frac{1}{4} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$