Løs 16x^2+10x-9=0

$$16 x ^ { 2 } + 10 x - 9 = 0$$

Løs for x

$$x = -\frac{9}{8} = -1\frac{1}{8} = -1,125$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 16x^{2}+ax+bx-9. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=10 ab=16\left(-9\right)=-144$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -144.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

Løsningen er paret som gir Summer 10.

$$a=-8 b=18$$

Skriv om 16x^{2}+10x-9 som \left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right).

$$\left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right)$$

Faktor ut 8x i den første og 9 i den andre gruppen.

$$8x\left(2x-1\right)+9\left(2x-1\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 2x-1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 2x-1=0 og 8x+9=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 16 for a, 10 for b og -9 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Kvadrer 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Multipliser -4 ganger 16.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-64\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Multipliser -64 ganger -9.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+576}}{2\times 16}$$

Legg sammen 100 og 576.

$$x=\frac{-10±\sqrt{676}}{2\times 16}$$

Ta kvadratroten av 676.

$$x=\frac{-10±26}{2\times 16}$$

Multipliser 2 ganger 16.

$$x=\frac{-10±26}{32}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-10±26}{32} når ± er pluss. Legg sammen -10 og 26.

$$x=\frac{16}{32}$$

Forkort brøken \frac{16}{32} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 16.

$$x=\frac{1}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-10±26}{32} når ± er minus. Trekk fra 26 fra -10.

$$x=-\frac{36}{32}$$

Forkort brøken \frac{-36}{32} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 4.

$$x=-\frac{9}{8}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Legg til 9 på begge sider av ligningen.

$$16x^{2}+10x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Når du trekker fra -9 fra seg selv har du 0 igjen.

$$16x^{2}+10x=-\left(-9\right)$$

Trekk fra -9 fra 0.

$$16x^{2}+10x=9$$

Del begge sidene på 16.

$$\frac{16x^{2}+10x}{16}=\frac{9}{16}$$

Hvis du deler på 16, gjør du om gangingen med 16.

$$x^{2}+\frac{10}{16}x=\frac{9}{16}$$

Forkort brøken \frac{10}{16} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x=\frac{9}{16}$$

Del \frac{5}{8}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{5}{16}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{5}{16} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{9}{16}+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{5}{16} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{9}{16}+\frac{25}{256}$$

Legg sammen \frac{9}{16} og \frac{25}{256} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{169}{256}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{169}{256}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{256}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{5}{16}=\frac{13}{16} x+\frac{5}{16}=-\frac{13}{16}$$

Trekk fra \frac{5}{16} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$