Løs 16a^2-69a-18=0

$$16 a ^ { 2 } - 69 a - 18 = 0$$

Løs for a

$$a = \frac{9 \sqrt{73} + 69}{32} \approx 4,559251053$$

$$a=\frac{69-9\sqrt{73}}{32}\approx -0,246751053$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$16a^{2}-69a-18=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 16 for a, -69 for b og -18 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-69\right)±\sqrt{\left(-69\right)^{2}-4\times 16\left(-18\right)}}{2\times 16}$$

Kvadrer -69.

$$a=\frac{-\left(-69\right)±\sqrt{4761-4\times 16\left(-18\right)}}{2\times 16}$$

Multipliser -4 ganger 16.

$$a=\frac{-\left(-69\right)±\sqrt{4761-64\left(-18\right)}}{2\times 16}$$

Multipliser -64 ganger -18.

$$a=\frac{-\left(-69\right)±\sqrt{4761+1152}}{2\times 16}$$

Legg sammen 4761 og 1152.

$$a=\frac{-\left(-69\right)±\sqrt{5913}}{2\times 16}$$

Ta kvadratroten av 5913.

$$a=\frac{-\left(-69\right)±9\sqrt{73}}{2\times 16}$$

Det motsatte av -69 er 69.

$$a=\frac{69±9\sqrt{73}}{2\times 16}$$

Multipliser 2 ganger 16.

$$a=\frac{69±9\sqrt{73}}{32}$$

Nå kan du løse formelen a=\frac{69±9\sqrt{73}}{32} når ± er pluss. Legg sammen 69 og 9\sqrt{73}.

$$a=\frac{9\sqrt{73}+69}{32}$$

Nå kan du løse formelen a=\frac{69±9\sqrt{73}}{32} når ± er minus. Trekk fra 9\sqrt{73} fra 69.

$$a=\frac{69-9\sqrt{73}}{32}$$

Ligningen er nå løst.

$$a=\frac{9\sqrt{73}+69}{32} a=\frac{69-9\sqrt{73}}{32}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$16a^{2}-69a-18=0$$

Legg til 18 på begge sider av ligningen.

$$16a^{2}-69a-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

Når du trekker fra -18 fra seg selv har du 0 igjen.

$$16a^{2}-69a=-\left(-18\right)$$

Trekk fra -18 fra 0.

$$16a^{2}-69a=18$$

Del begge sidene på 16.

$$\frac{16a^{2}-69a}{16}=\frac{18}{16}$$

Hvis du deler på 16, gjør du om gangingen med 16.

$$a^{2}-\frac{69}{16}a=\frac{18}{16}$$

Forkort brøken \frac{18}{16} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$a^{2}-\frac{69}{16}a=\frac{9}{8}$$

Del -\frac{69}{16}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{69}{32}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{69}{32} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$a^{2}-\frac{69}{16}a+\left(-\frac{69}{32}\right)^{2}=\frac{9}{8}+\left(-\frac{69}{32}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{69}{32} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$a^{2}-\frac{69}{16}a+\frac{4761}{1024}=\frac{9}{8}+\frac{4761}{1024}$$

Legg sammen \frac{9}{8} og \frac{4761}{1024} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$a^{2}-\frac{69}{16}a+\frac{4761}{1024}=\frac{5913}{1024}$$

Faktoriser a^{2}-\frac{69}{16}a+\frac{4761}{1024}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-\frac{69}{32}\right)^{2}=\frac{5913}{1024}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(a-\frac{69}{32}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5913}{1024}}$$

Forenkle.

$$a-\frac{69}{32}=\frac{9\sqrt{73}}{32} a-\frac{69}{32}=-\frac{9\sqrt{73}}{32}$$

Legg til \frac{69}{32} på begge sider av ligningen.

$$a=\frac{9\sqrt{73}+69}{32} a=\frac{69-9\sqrt{73}}{32}$$