Løs 16x^2-128x+319=0

$$16 { x }^{ 2 } -128x+319=0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{3\sqrt{7}i}{4}+4\approx 4+1,984313483i$$

$$x=-\frac{3\sqrt{7}i}{4}+4\approx 4-1,984313483i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$16x^{2}-128x+319=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 16 for a, -128 for b og 319 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-128\right)±\sqrt{\left(-128\right)^{2}-4\times 16\times 319}}{2\times 16}$$

Kvadrer -128.

$$x=\frac{-\left(-128\right)±\sqrt{16384-4\times 16\times 319}}{2\times 16}$$

Multipliser -4 ganger 16.

$$x=\frac{-\left(-128\right)±\sqrt{16384-64\times 319}}{2\times 16}$$

Multipliser -64 ganger 319.

$$x=\frac{-\left(-128\right)±\sqrt{16384-20416}}{2\times 16}$$

Legg sammen 16384 og -20416.

$$x=\frac{-\left(-128\right)±\sqrt{-4032}}{2\times 16}$$

Ta kvadratroten av -4032.

$$x=\frac{-\left(-128\right)±24\sqrt{7}i}{2\times 16}$$

Det motsatte av -128 er 128.

$$x=\frac{128±24\sqrt{7}i}{2\times 16}$$

Multipliser 2 ganger 16.

$$x=\frac{128±24\sqrt{7}i}{32}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{128±24\sqrt{7}i}{32} når ± er pluss. Legg sammen 128 og 24i\sqrt{7}.

$$x=\frac{128+24\sqrt{7}i}{32}$$

Del 128+24i\sqrt{7} på 32.

$$x=\frac{3\sqrt{7}i}{4}+4$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{128±24\sqrt{7}i}{32} når ± er minus. Trekk fra 24i\sqrt{7} fra 128.

$$x=\frac{-24\sqrt{7}i+128}{32}$$

Del 128-24i\sqrt{7} på 32.

$$x=-\frac{3\sqrt{7}i}{4}+4$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{3\sqrt{7}i}{4}+4 x=-\frac{3\sqrt{7}i}{4}+4$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}-128x+319=0$$

Trekk fra 319 fra begge sider av ligningen.

$$16x^{2}-128x+319-319=-319$$

Når du trekker fra 319 fra seg selv har du 0 igjen.

$$16x^{2}-128x=-319$$

Del begge sidene på 16.

$$\frac{16x^{2}-128x}{16}=-\frac{319}{16}$$

Hvis du deler på 16, gjør du om gangingen med 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{128}{16}\right)x=-\frac{319}{16}$$

Del -128 på 16.

$$x^{2}-8x=-\frac{319}{16}$$

Del -8, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -4. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -4 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-\frac{319}{16}+\left(-4\right)^{2}$$

Kvadrer -4.

$$x^{2}-8x+16=-\frac{319}{16}+16$$

Legg sammen -\frac{319}{16} og 16.

$$x^{2}-8x+16=-\frac{63}{16}$$

Faktoriser x^{2}-8x+16. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=-\frac{63}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{63}{16}}$$

Forenkle.

$$x-4=\frac{3\sqrt{7}i}{4} x-4=-\frac{3\sqrt{7}i}{4}$$

Legg til 4 på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{3\sqrt{7}i}{4}+4 x=-\frac{3\sqrt{7}i}{4}+4$$