Løs 15x^2-7x-2geq0

$$15 x ^ { 2 } - 7 x - 2 \geq 0$$

Løs for x

$$x\in (-\infty,-\frac{1}{5}]\cup [\frac{2}{3},\infty)$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Faktoriser venstre side for å løse ulikheten. Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$15x^{2}-7x-2=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 15 med a, -7 med b, og -2 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 15\left(-2\right)}}{2\times 15}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{7±13}{30}$$

Løs ligningen x=\frac{7±13}{30} når ± er pluss og ± er minus.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{1}{5}$$

Skriv om ulikheten ved hjelp av de oppnådde løsningene.

$$15\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x+\frac{1}{5}\right)\geq 0$$

For at produktet skal være ≥0, x-\frac{2}{3} og x+\frac{1}{5} må være både ≤0 eller begge ≥0. Vurder saken når x-\frac{2}{3} og x+\frac{1}{5} er begge ≤0.

$$x-\frac{2}{3}\leq 0 x+\frac{1}{5}\leq 0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x\leq -\frac{1}{5}.

$$x\leq -\frac{1}{5}$$

Vurder saken når x-\frac{2}{3} og x+\frac{1}{5} er begge ≥0.

$$x+\frac{1}{5}\geq 0 x-\frac{2}{3}\geq 0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x\geq \frac{2}{3}.

$$x\geq \frac{2}{3}$$

Den siste løsningen er unionen av de oppnådde løsningene.

$$x\leq -\frac{1}{5}\text{; }x\geq \frac{2}{3}$$