Løs 15x^2+11x+2=0

$$15 x ^ { 2 } + 11 x + 2 = 0$$

Løs for x

$$x=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen faktoriserer du venstre side ved å gruppere. Først må venstre side omskrives som 15x^{2}+ax+bx+2. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=11 ab=15\times 2=30$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er positiv, er a og b positive. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Beregn summen for hvert par.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Løsningen er paret som gir Summer 11.

$$a=5 b=6$$

Skriv om 15x^{2}+11x+2 som \left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right).

$$\left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right)$$

Faktor ut 5x i den første og 2 i den andre gruppen.

$$5x\left(3x+1\right)+2\left(3x+1\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 3x+1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(3x+1\right)\left(5x+2\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 3x+1=0 og 5x+2=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 15 for a, 11 for b og 2 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Kvadrer 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Multipliser -4 ganger 15.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-60\times 2}}{2\times 15}$$

Multipliser -60 ganger 2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\times 15}$$

Legg sammen 121 og -120.

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\times 15}$$

Ta kvadratroten av 1.

$$x=\frac{-11±1}{2\times 15}$$

Multipliser 2 ganger 15.

$$x=\frac{-11±1}{30}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-11±1}{30} når ± er pluss. Legg sammen -11 og 1.

$$x=-\frac{10}{30}$$

Forkort brøken \frac{-10}{30} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 10.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-11±1}{30} når ± er minus. Trekk fra 1 fra -11.

$$x=-\frac{12}{30}$$

Forkort brøken \frac{-12}{30} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 6.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Trekk fra 2 fra begge sider av ligningen.

$$15x^{2}+11x+2-2=-2$$

Når du trekker fra 2 fra seg selv har du 0 igjen.

$$15x^{2}+11x=-2$$

Del begge sidene på 15.

$$\frac{15x^{2}+11x}{15}=-\frac{2}{15}$$

Hvis du deler på 15, gjør du om gangingen med 15.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x=-\frac{2}{15}$$

Divider \frac{11}{15}, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få \frac{11}{30}. Legg deretter til kvadratet av \frac{11}{30} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{11}{30} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=-\frac{2}{15}+\frac{121}{900}$$

Legg sammen -\frac{2}{15} og \frac{121}{900} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=\frac{1}{900}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}=\frac{1}{900}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{900}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{11}{30}=\frac{1}{30} x+\frac{11}{30}=-\frac{1}{30}$$

Trekk fra \frac{11}{30} fra begge sider av ligningen.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$