Løs 15p^2+7p-2

$$15 p ^ { 2 } + 7 p - 2$$

Faktoriser

$$\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)$$

Løsningstrinn

Faktor iser uttrykket ved å gruppere. Først må uttrykket omskrives som 15p^{2}+ap+bp-2. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=7 ab=15\left(-2\right)=-30$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Løsningen er paret som gir Summer 7.

$$a=-3 b=10$$

Skriv om 15p^{2}+7p-2 som \left(15p^{2}-3p\right)+\left(10p-2\right).

$$\left(15p^{2}-3p\right)+\left(10p-2\right)$$

Faktor ut 3p i den første og 2 i den andre gruppen.

$$3p\left(5p-1\right)+2\left(5p-1\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 5p-1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$15p^{2}+7p-2=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$p=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 15\left(-2\right)}}{2\times 15}$$

Kvadrer 7.

$$p=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 15\left(-2\right)}}{2\times 15}$$

Multipliser -4 ganger 15.

$$p=\frac{-7±\sqrt{49-60\left(-2\right)}}{2\times 15}$$

Multipliser -60 ganger -2.

$$p=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 15}$$

Legg sammen 49 og 120.

$$p=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 15}$$

Ta kvadratroten av 169.

$$p=\frac{-7±13}{2\times 15}$$

Multipliser 2 ganger 15.

$$p=\frac{-7±13}{30}$$

Nå kan du løse formelen p=\frac{-7±13}{30} når ± er pluss. Legg sammen -7 og 13.

$$p=\frac{6}{30}$$

Forkort brøken \frac{6}{30} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 6.

$$p=\frac{1}{5}$$

Nå kan du løse formelen p=\frac{-7±13}{30} når ± er minus. Trekk fra 13 fra -7.

$$p=-\frac{20}{30}$$

Forkort brøken \frac{-20}{30} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 10.

$$p=-\frac{2}{3}$$

Faktoriser det opprinnelige uttrykket ved hjelp av ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Erstatt \frac{1}{5} med x_{1} og -\frac{2}{3} med x_{2}.

$$15p^{2}+7p-2=15\left(p-\frac{1}{5}\right)\left(p-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$

Forenkle alle uttrykkene i formelen fra p-\left(-q\right)til p+q.

$$15p^{2}+7p-2=15\left(p-\frac{1}{5}\right)\left(p+\frac{2}{3}\right)$$

Trekk fra \frac{1}{5} fra p ved å finne en fellesnevner og trekke fra tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$15p^{2}+7p-2=15\times \frac{5p-1}{5}\left(p+\frac{2}{3}\right)$$

Legg sammen \frac{2}{3} og p ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$15p^{2}+7p-2=15\times \frac{5p-1}{5}\times \frac{3p+2}{3}$$

Multipliser \frac{5p-1}{5} med \frac{3p+2}{3} ved å multiplisere teller ganger teller og nevner ganger nevner. Forkort deretter brøken om mulig.

$$15p^{2}+7p-2=15\times \frac{\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)}{5\times 3}$$

Multipliser 5 ganger 3.

$$15p^{2}+7p-2=15\times \frac{\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)}{15}$$

Opphev den største felles faktoren 15 i 15 og 15.

$$15p^{2}+7p-2=\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)$$

Evaluer

$$\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)$$