Løs 15b^2-100b-160

$$15 b ^ { 2 } - 100 b - 160$$

Faktoriser

$$5\left(b-8\right)\left(3b+4\right)$$

Løsningstrinn

Faktoriser ut 5.

$$5\left(3b^{2}-20b-32\right)$$

Vurder 3b^{2}-20b-32. Faktor iser uttrykket ved å gruppere. Først må uttrykket omskrives som 3b^{2}+pb+qb-32. Hvis du vil finne p og q, setter du opp et system som skal løses.

$$p+q=-20 pq=3\left(-32\right)=-96$$

Siden pq er negativ, p og q har motsatt tegn. Siden p+q er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -96.

$$1,-96 2,-48 3,-32 4,-24 6,-16 8,-12$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-96=-95 2-48=-46 3-32=-29 4-24=-20 6-16=-10 8-12=-4$$

Løsningen er paret som gir Summer -20.

$$p=-24 q=4$$

Skriv om 3b^{2}-20b-32 som \left(3b^{2}-24b\right)+\left(4b-32\right).

$$\left(3b^{2}-24b\right)+\left(4b-32\right)$$

Faktor ut 3b i den første og 4 i den andre gruppen.

$$3b\left(b-8\right)+4\left(b-8\right)$$

Faktorer ut det felles leddet b-8 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(b-8\right)\left(3b+4\right)$$

Skriv om det fullførte faktoriserte uttrykket.

$$5\left(b-8\right)\left(3b+4\right)$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$15b^{2}-100b-160=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{\left(-100\right)^{2}-4\times 15\left(-160\right)}}{2\times 15}$$

Kvadrer -100.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000-4\times 15\left(-160\right)}}{2\times 15}$$

Multipliser -4 ganger 15.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000-60\left(-160\right)}}{2\times 15}$$

Multipliser -60 ganger -160.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000+9600}}{2\times 15}$$

Legg sammen 10000 og 9600.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{19600}}{2\times 15}$$

Ta kvadratroten av 19600.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±140}{2\times 15}$$

Det motsatte av -100 er 100.

$$b=\frac{100±140}{2\times 15}$$

Multipliser 2 ganger 15.

$$b=\frac{100±140}{30}$$

Nå kan du løse formelen b=\frac{100±140}{30} når ± er pluss. Legg sammen 100 og 140.

$$b=\frac{240}{30}$$

Del 240 på 30.

$$b=8$$

Nå kan du løse formelen b=\frac{100±140}{30} når ± er minus. Trekk fra 140 fra 100.

$$b=-\frac{40}{30}$$

Forkort brøken \frac{-40}{30} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 10.

$$b=-\frac{4}{3}$$

Faktoriser det opprinnelige uttrykket ved hjelp av ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Erstatt 8 med x_{1} og -\frac{4}{3} med x_{2}.

$$15b^{2}-100b-160=15\left(b-8\right)\left(b-\left(-\frac{4}{3}\right)\right)$$

Forenkle alle uttrykkene i formelen fra p-\left(-q\right)til p+q.

$$15b^{2}-100b-160=15\left(b-8\right)\left(b+\frac{4}{3}\right)$$

Legg sammen \frac{4}{3} og b ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$15b^{2}-100b-160=15\left(b-8\right)\times \frac{3b+4}{3}$$

Opphev den største felles faktoren 3 i 15 og 3.

$$15b^{2}-100b-160=5\left(b-8\right)\left(3b+4\right)$$

Evaluer

$$5\left(b-8\right)\left(3b+4\right)$$