Løs 15x^2+4x-4=0

$$15 { x }^{ 2 } +4x-4=0$$

Løs for x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=\frac{2}{5}=0,4$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 15x^{2}+ax+bx-4. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=4 ab=15\left(-4\right)=-60$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Løsningen er paret som gir Summer 4.

$$a=-6 b=10$$

Skriv om 15x^{2}+4x-4 som \left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right).

$$\left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right)$$

Faktor ut 3x i den første og 2 i den andre gruppen.

$$3x\left(5x-2\right)+2\left(5x-2\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 5x-2 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(5x-2\right)\left(3x+2\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 5x-2=0 og 3x+2=0.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 15 for a, 4 for b og -4 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Kvadrer 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Multipliser -4 ganger 15.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Multipliser -60 ganger -4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 15}$$

Legg sammen 16 og 240.

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 15}$$

Ta kvadratroten av 256.

$$x=\frac{-4±16}{2\times 15}$$

Multipliser 2 ganger 15.

$$x=\frac{-4±16}{30}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-4±16}{30} når ± er pluss. Legg sammen -4 og 16.

$$x=\frac{12}{30}$$

Forkort brøken \frac{12}{30} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 6.

$$x=\frac{2}{5}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-4±16}{30} når ± er minus. Trekk fra 16 fra -4.

$$x=-\frac{20}{30}$$

Forkort brøken \frac{-20}{30} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 10.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Legg til 4 på begge sider av ligningen.

$$15x^{2}+4x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Når du trekker fra -4 fra seg selv har du 0 igjen.

$$15x^{2}+4x=-\left(-4\right)$$

Trekk fra -4 fra 0.

$$15x^{2}+4x=4$$

Del begge sidene på 15.

$$\frac{15x^{2}+4x}{15}=\frac{4}{15}$$

Hvis du deler på 15, gjør du om gangingen med 15.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x=\frac{4}{15}$$

Del \frac{4}{15}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{2}{15}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{2}{15} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{2}{15} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{4}{15}+\frac{4}{225}$$

Legg sammen \frac{4}{15} og \frac{4}{225} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{64}{225}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{64}{225}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{225}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{2}{15}=\frac{8}{15} x+\frac{2}{15}=-\frac{8}{15}$$

Trekk fra \frac{2}{15} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$