Løs 132x^2+16x-1=0

$$132 x ^ { 2 } + 16 x - 1 = 0$$

Løs for x

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0,166666667$$

$$x=\frac{1}{22}\approx 0,045454545$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 132x^{2}+ax+bx-1. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=16 ab=132\left(-1\right)=-132$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -132.

$$-1,132 -2,66 -3,44 -4,33 -6,22 -11,12$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+132=131 -2+66=64 -3+44=41 -4+33=29 -6+22=16 -11+12=1$$

Løsningen er paret som gir Summer 16.

$$a=-6 b=22$$

Skriv om 132x^{2}+16x-1 som \left(132x^{2}-6x\right)+\left(22x-1\right).

$$\left(132x^{2}-6x\right)+\left(22x-1\right)$$

Faktorer ut 6x i 132x^{2}-6x.

$$6x\left(22x-1\right)+22x-1$$

Faktorer ut det felles leddet 22x-1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(22x-1\right)\left(6x+1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 22x-1=0 og 6x+1=0.

$$x=\frac{1}{22} x=-\frac{1}{6}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$132x^{2}+16x-1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 132 for a, 16 for b og -1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 132\left(-1\right)}}{2\times 132}$$

Kvadrer 16.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 132\left(-1\right)}}{2\times 132}$$

Multipliser -4 ganger 132.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-528\left(-1\right)}}{2\times 132}$$

Multipliser -528 ganger -1.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+528}}{2\times 132}$$

Legg sammen 256 og 528.

$$x=\frac{-16±\sqrt{784}}{2\times 132}$$

Ta kvadratroten av 784.

$$x=\frac{-16±28}{2\times 132}$$

Multipliser 2 ganger 132.

$$x=\frac{-16±28}{264}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-16±28}{264} når ± er pluss. Legg sammen -16 og 28.

$$x=\frac{12}{264}$$

Forkort brøken \frac{12}{264} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 12.

$$x=\frac{1}{22}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-16±28}{264} når ± er minus. Trekk fra 28 fra -16.

$$x=-\frac{44}{264}$$

Forkort brøken \frac{-44}{264} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 44.

$$x=-\frac{1}{6}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{1}{22} x=-\frac{1}{6}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$132x^{2}+16x-1=0$$

Legg til 1 på begge sider av ligningen.

$$132x^{2}+16x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Når du trekker fra -1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$132x^{2}+16x=-\left(-1\right)$$

Trekk fra -1 fra 0.

$$132x^{2}+16x=1$$

Del begge sidene på 132.

$$\frac{132x^{2}+16x}{132}=\frac{1}{132}$$

Hvis du deler på 132, gjør du om gangingen med 132.

$$x^{2}+\frac{16}{132}x=\frac{1}{132}$$

Forkort brøken \frac{16}{132} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 4.

$$x^{2}+\frac{4}{33}x=\frac{1}{132}$$

Del \frac{4}{33}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{2}{33}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{2}{33} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{4}{33}x+\left(\frac{2}{33}\right)^{2}=\frac{1}{132}+\left(\frac{2}{33}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{2}{33} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{4}{33}x+\frac{4}{1089}=\frac{1}{132}+\frac{4}{1089}$$

Legg sammen \frac{1}{132} og \frac{4}{1089} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{4}{33}x+\frac{4}{1089}=\frac{49}{4356}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{4}{33}x+\frac{4}{1089}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{33}\right)^{2}=\frac{49}{4356}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{33}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4356}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{2}{33}=\frac{7}{66} x+\frac{2}{33}=-\frac{7}{66}$$

Trekk fra \frac{2}{33} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{1}{22} x=-\frac{1}{6}$$