Løs 13x=x^2+30

$$13 x = x ^ { 2 } + 30$$

Løs for x

$$x=3$$

$$x=10$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Trekk fra x^{2} fra begge sider.

$$13x-x^{2}=30$$

Trekk fra 30 fra begge sider.

$$13x-x^{2}-30=0$$

Skriv polynomet på standardform ved å plassere leddene i rekkefølge fra høyeste til laveste potens.

$$-x^{2}+13x-30=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som -x^{2}+ax+bx-30. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=13 ab=-\left(-30\right)=30$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er positiv, er a og b positive. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Beregn summen for hvert par.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Løsningen er paret som gir Summer 13.

$$a=10 b=3$$

Skriv om -x^{2}+13x-30 som \left(-x^{2}+10x\right)+\left(3x-30\right).

$$\left(-x^{2}+10x\right)+\left(3x-30\right)$$

Faktor ut -x i den første og 3 i den andre gruppen.

$$-x\left(x-10\right)+3\left(x-10\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-10 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-10\right)\left(-x+3\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-10=0 og -x+3=0.

$$x=10 x=3$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Trekk fra x^{2} fra begge sider.

$$13x-x^{2}=30$$

Trekk fra 30 fra begge sider.

$$13x-x^{2}-30=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-x^{2}+13x-30=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -1 for a, 13 for b og -30 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-1\right)\left(-30\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrer 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-1\right)\left(-30\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser -4 ganger -1.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+4\left(-30\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 4 ganger -30.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-120}}{2\left(-1\right)}$$

Legg sammen 169 og -120.

$$x=\frac{-13±\sqrt{49}}{2\left(-1\right)}$$

Ta kvadratroten av 49.

$$x=\frac{-13±7}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 2 ganger -1.

$$x=\frac{-13±7}{-2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-13±7}{-2} når ± er pluss. Legg sammen -13 og 7.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

Del -6 på -2.

$$x=3$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-13±7}{-2} når ± er minus. Trekk fra 7 fra -13.

$$x=-\frac{20}{-2}$$

Del -20 på -2.

$$x=10$$

Ligningen er nå løst.

$$x=3 x=10$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Trekk fra x^{2} fra begge sider.

$$13x-x^{2}=30$$

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+13x=30$$

Del begge sidene på -1.

$$\frac{-x^{2}+13x}{-1}=\frac{30}{-1}$$

Hvis du deler på -1, gjør du om gangingen med -1.

$$x^{2}+\frac{13}{-1}x=\frac{30}{-1}$$

Del 13 på -1.

$$x^{2}-13x=\frac{30}{-1}$$

Del 30 på -1.

$$x^{2}-13x=-30$$

Del -13, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{13}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{13}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-30+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{13}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-30+\frac{169}{4}$$

Legg sammen -30 og \frac{169}{4}.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{49}{4}$$

Faktoriser x^{2}-13x+\frac{169}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{7}{2}$$

Legg til \frac{13}{2} på begge sider av ligningen.

$$x=10 x=3$$