Løs 13a^2-12a-9=0

$$13 a ^ { 2 } - 12 a - 9 = 0$$

Løs for a

$$a = \frac{3 \sqrt{17} + 6}{13} \approx 1,413024375$$

$$a=\frac{6-3\sqrt{17}}{13}\approx -0,489947452$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$13a^{2}-12a-9=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 13 for a, -12 for b og -9 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 13\left(-9\right)}}{2\times 13}$$

Kvadrer -12.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 13\left(-9\right)}}{2\times 13}$$

Multipliser -4 ganger 13.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-52\left(-9\right)}}{2\times 13}$$

Multipliser -52 ganger -9.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+468}}{2\times 13}$$

Legg sammen 144 og 468.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{612}}{2\times 13}$$

Ta kvadratroten av 612.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{17}}{2\times 13}$$

Det motsatte av -12 er 12.

$$a=\frac{12±6\sqrt{17}}{2\times 13}$$

Multipliser 2 ganger 13.

$$a=\frac{12±6\sqrt{17}}{26}$$

Nå kan du løse formelen a=\frac{12±6\sqrt{17}}{26} når ± er pluss. Legg sammen 12 og 6\sqrt{17}.

$$a=\frac{6\sqrt{17}+12}{26}$$

Del 12+6\sqrt{17} på 26.

$$a=\frac{3\sqrt{17}+6}{13}$$

Nå kan du løse formelen a=\frac{12±6\sqrt{17}}{26} når ± er minus. Trekk fra 6\sqrt{17} fra 12.

$$a=\frac{12-6\sqrt{17}}{26}$$

Del 12-6\sqrt{17} på 26.

$$a=\frac{6-3\sqrt{17}}{13}$$

Ligningen er nå løst.

$$a=\frac{3\sqrt{17}+6}{13} a=\frac{6-3\sqrt{17}}{13}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$13a^{2}-12a-9=0$$

Legg til 9 på begge sider av ligningen.

$$13a^{2}-12a-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Når du trekker fra -9 fra seg selv har du 0 igjen.

$$13a^{2}-12a=-\left(-9\right)$$

Trekk fra -9 fra 0.

$$13a^{2}-12a=9$$

Del begge sidene på 13.

$$\frac{13a^{2}-12a}{13}=\frac{9}{13}$$

Hvis du deler på 13, gjør du om gangingen med 13.

$$a^{2}-\frac{12}{13}a=\frac{9}{13}$$

Del -\frac{12}{13}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{6}{13}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{6}{13} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$a^{2}-\frac{12}{13}a+\left(-\frac{6}{13}\right)^{2}=\frac{9}{13}+\left(-\frac{6}{13}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{6}{13} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$a^{2}-\frac{12}{13}a+\frac{36}{169}=\frac{9}{13}+\frac{36}{169}$$

Legg sammen \frac{9}{13} og \frac{36}{169} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$a^{2}-\frac{12}{13}a+\frac{36}{169}=\frac{153}{169}$$

Faktoriser a^{2}-\frac{12}{13}a+\frac{36}{169}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-\frac{6}{13}\right)^{2}=\frac{153}{169}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(a-\frac{6}{13}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{153}{169}}$$

Forenkle.

$$a-\frac{6}{13}=\frac{3\sqrt{17}}{13} a-\frac{6}{13}=-\frac{3\sqrt{17}}{13}$$

Legg til \frac{6}{13} på begge sider av ligningen.

$$a=\frac{3\sqrt{17}+6}{13} a=\frac{6-3\sqrt{17}}{13}$$