Løs 120x^2+8000x-92000=0

$$120 { x }^{ 2 } +8000x-92000=0$$

Løs for x

$$x = -\frac{230}{3} = -76\frac{2}{3} \approx -76,666666667$$

$$x=10$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Del begge sidene på 40.

$$3x^{2}+200x-2300=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 3x^{2}+ax+bx-2300. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=200 ab=3\left(-2300\right)=-6900$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -6900.

$$-1,6900 -2,3450 -3,2300 -4,1725 -5,1380 -6,1150 -10,690 -12,575 -15,460 -20,345 -23,300 -25,276 -30,230 -46,150 -50,138 -60,115 -69,100 -75,92$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+6900=6899 -2+3450=3448 -3+2300=2297 -4+1725=1721 -5+1380=1375 -6+1150=1144 -10+690=680 -12+575=563 -15+460=445 -20+345=325 -23+300=277 -25+276=251 -30+230=200 -46+150=104 -50+138=88 -60+115=55 -69+100=31 -75+92=17$$

Løsningen er paret som gir Summer 200.

$$a=-30 b=230$$

Skriv om 3x^{2}+200x-2300 som \left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right).

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right)$$

Faktor ut 3x i den første og 230 i den andre gruppen.

$$3x\left(x-10\right)+230\left(x-10\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-10 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-10\right)\left(3x+230\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-10=0 og 3x+230=0.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 120 for a, 8000 for b og -92000 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{8000^{2}-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Kvadrer 8000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Multipliser -4 ganger 120.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-480\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Multipliser -480 ganger -92000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000+44160000}}{2\times 120}$$

Legg sammen 64000000 og 44160000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{108160000}}{2\times 120}$$

Ta kvadratroten av 108160000.

$$x=\frac{-8000±10400}{2\times 120}$$

Multipliser 2 ganger 120.

$$x=\frac{-8000±10400}{240}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-8000±10400}{240} når ± er pluss. Legg sammen -8000 og 10400.

$$x=\frac{2400}{240}$$

Del 2400 på 240.

$$x=10$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-8000±10400}{240} når ± er minus. Trekk fra 10400 fra -8000.

$$x=-\frac{18400}{240}$$

Forkort brøken \frac{-18400}{240} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 80.

$$x=-\frac{230}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Legg til 92000 på begge sider av ligningen.

$$120x^{2}+8000x-92000-\left(-92000\right)=-\left(-92000\right)$$

Når du trekker fra -92000 fra seg selv har du 0 igjen.

$$120x^{2}+8000x=-\left(-92000\right)$$

Trekk fra -92000 fra 0.

$$120x^{2}+8000x=92000$$

Del begge sidene på 120.

$$\frac{120x^{2}+8000x}{120}=\frac{92000}{120}$$

Hvis du deler på 120, gjør du om gangingen med 120.

$$x^{2}+\frac{8000}{120}x=\frac{92000}{120}$$

Forkort brøken \frac{8000}{120} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 40.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{92000}{120}$$

Forkort brøken \frac{92000}{120} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 40.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{2300}{3}$$

Del \frac{200}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{100}{3}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{100}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{2300}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{100}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{2300}{3}+\frac{10000}{9}$$

Legg sammen \frac{2300}{3} og \frac{10000}{9} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{16900}{9}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{16900}{9}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16900}{9}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{130}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{130}{3}$$

Trekk fra \frac{100}{3} fra begge sider av ligningen.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$