Løs 12x^5-8x^4-27x^3+24x^2+5x-6

$$12 x ^ { 5 } - 8 x ^ { 4 } - 27 x ^ { 3 } + 24 x ^ { 2 } + 5 x - 6$$

Faktoriser

$$\left(3x-2\right)\left(2x+1\right)\left(2x+3\right)\left(x-1\right)^{2}$$

Løsningstrinn

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet -6 og q dividerer den ledende koeffisienten 12. En slik rot er -\frac{1}{2}. Du skal beregne polynomet ved å dele den med 2x+1.

$$\left(2x+1\right)\left(6x^{4}-7x^{3}-10x^{2}+17x-6\right)$$

Vurder 6x^{4}-7x^{3}-10x^{2}+17x-6. Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet -6 og q dividerer den ledende koeffisienten 6. En slik rot er 1. Du skal beregne polynomet ved å dele den med x-1.

$$\left(x-1\right)\left(6x^{3}-x^{2}-11x+6\right)$$

Vurder 6x^{3}-x^{2}-11x+6. Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet 6 og q dividerer den ledende koeffisienten 6. En slik rot er 1. Du skal beregne polynomet ved å dele den med x-1.

$$\left(x-1\right)\left(6x^{2}+5x-6\right)$$

Vurder 6x^{2}+5x-6. Faktor iser uttrykket ved å gruppere. Først må uttrykket omskrives som 6x^{2}+ax+bx-6. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=5 ab=6\left(-6\right)=-36$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -36.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

Løsningen er paret som gir Summer 5.

$$a=-4 b=9$$

Skriv om 6x^{2}+5x-6 som \left(6x^{2}-4x\right)+\left(9x-6\right).

$$\left(6x^{2}-4x\right)+\left(9x-6\right)$$

Faktor ut 2x i den første og 3 i den andre gruppen.

$$2x\left(3x-2\right)+3\left(3x-2\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 3x-2 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(3x-2\right)\left(2x+3\right)$$

Skriv om det fullførte faktoriserte uttrykket.

$$\left(3x-2\right)\left(2x+1\right)\left(2x+3\right)\left(x-1\right)^{2}$$

Evaluer

$$\left(3x-2\right)\left(2x+1\right)\left(2x+3\right)\left(x-1\right)^{2}$$