Løs 12x^2-2x+5=0

$$12 x ^ { 2 } - 2 x + 5 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12}\approx 0,083333333+0,640095479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}\approx 0,083333333-0,640095479i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$12x^{2}-2x+5=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 12 for a, -2 for b og 5 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Kvadrer -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Multipliser -4 ganger 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-48\times 5}}{2\times 12}$$

Multipliser -48 ganger 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-240}}{2\times 12}$$

Legg sammen 4 og -240.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-236}}{2\times 12}$$

Ta kvadratroten av -236.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{59}i}{2\times 12}$$

Det motsatte av -2 er 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{2\times 12}$$

Multipliser 2 ganger 12.

$$x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24} når ± er pluss. Legg sammen 2 og 2i\sqrt{59}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{59}i}{24}$$

Del 2+2i\sqrt{59} på 24.

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24} når ± er minus. Trekk fra 2i\sqrt{59} fra 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{59}i+2}{24}$$

Del 2-2i\sqrt{59} på 24.

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12} x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-2x+5=0$$

Trekk fra 5 fra begge sider av ligningen.

$$12x^{2}-2x+5-5=-5$$

Når du trekker fra 5 fra seg selv har du 0 igjen.

$$12x^{2}-2x=-5$$

Del begge sidene på 12.

$$\frac{12x^{2}-2x}{12}=-\frac{5}{12}$$

Hvis du deler på 12, gjør du om gangingen med 12.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{12}\right)x=-\frac{5}{12}$$

Forkort brøken \frac{-2}{12} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=-\frac{5}{12}$$

Del -\frac{1}{6}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{1}{12}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{1}{12} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=-\frac{5}{12}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{1}{12} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=-\frac{5}{12}+\frac{1}{144}$$

Legg sammen -\frac{5}{12} og \frac{1}{144} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=-\frac{59}{144}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=-\frac{59}{144}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{59}{144}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{\sqrt{59}i}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{\sqrt{59}i}{12}$$

Legg til \frac{1}{12} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12} x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$