Løs 12x^2-12x-6=0

$$12 x ^ { 2 } - 12 x - 6 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1,366025404$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0,366025404$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$12x^{2}-12x-6=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 12 for a, -12 for b og -6 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 12\left(-6\right)}}{2\times 12}$$

Kvadrer -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 12\left(-6\right)}}{2\times 12}$$

Multipliser -4 ganger 12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-48\left(-6\right)}}{2\times 12}$$

Multipliser -48 ganger -6.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+288}}{2\times 12}$$

Legg sammen 144 og 288.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{432}}{2\times 12}$$

Ta kvadratroten av 432.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±12\sqrt{3}}{2\times 12}$$

Det motsatte av -12 er 12.

$$x=\frac{12±12\sqrt{3}}{2\times 12}$$

Multipliser 2 ganger 12.

$$x=\frac{12±12\sqrt{3}}{24}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{12±12\sqrt{3}}{24} når ± er pluss. Legg sammen 12 og 12\sqrt{3}.

$$x=\frac{12\sqrt{3}+12}{24}$$

Del 12+12\sqrt{3} på 24.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{12±12\sqrt{3}}{24} når ± er minus. Trekk fra 12\sqrt{3} fra 12.

$$x=\frac{12-12\sqrt{3}}{24}$$

Del 12-12\sqrt{3} på 24.

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-12x-6=0$$

Legg til 6 på begge sider av ligningen.

$$12x^{2}-12x-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

Når du trekker fra -6 fra seg selv har du 0 igjen.

$$12x^{2}-12x=-\left(-6\right)$$

Trekk fra -6 fra 0.

$$12x^{2}-12x=6$$

Del begge sidene på 12.

$$\frac{12x^{2}-12x}{12}=\frac{6}{12}$$

Hvis du deler på 12, gjør du om gangingen med 12.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{12}\right)x=\frac{6}{12}$$

Del -12 på 12.

$$x^{2}-x=\frac{6}{12}$$

Forkort brøken \frac{6}{12} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 6.

$$x^{2}-x=\frac{1}{2}$$

Del -1, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{1}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{1}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{1}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Legg sammen \frac{1}{2} og \frac{1}{4} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Faktoriser x^{2}-x+\frac{1}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Legg til \frac{1}{2} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$