Løs 12z^2-7z-12

$$12 { z }^{ 2 } -7z-12$$

Faktoriser

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

Løsningstrinn

Faktoriser uttrykket ved å gruppere. Først må uttrykket omskrives som 12z^{2}+az+bz-12. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-7 ab=12\left(-12\right)=-144$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -144.

$$1,-144 2,-72 3,-48 4,-36 6,-24 8,-18 9,-16 12,-12$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-144=-143 2-72=-70 3-48=-45 4-36=-32 6-24=-18 8-18=-10 9-16=-7 12-12=0$$

Løsningen er paret som gir Summer -7.

$$a=-16 b=9$$

Skriv om 12z^{2}-7z-12 som \left(12z^{2}-16z\right)+\left(9z-12\right).

$$\left(12z^{2}-16z\right)+\left(9z-12\right)$$

Faktor ut 4z i den første og 3 i den andre gruppen.

$$4z\left(3z-4\right)+3\left(3z-4\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 3z-4 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$12z^{2}-7z-12=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 12\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Kvadrer -7.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 12\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Multipliser -4 ganger 12.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Multipliser -48 ganger -12.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+576}}{2\times 12}$$

Legg sammen 49 og 576.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{625}}{2\times 12}$$

Ta kvadratroten av 625.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±25}{2\times 12}$$

Det motsatte av -7 er 7.

$$z=\frac{7±25}{2\times 12}$$

Multipliser 2 ganger 12.

$$z=\frac{7±25}{24}$$

Nå kan du løse formelen z=\frac{7±25}{24} når ± er pluss. Legg sammen 7 og 25.

$$z=\frac{32}{24}$$

Forkort brøken \frac{32}{24} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 8.

$$z=\frac{4}{3}$$

Nå kan du løse formelen z=\frac{7±25}{24} når ± er minus. Trekk fra 25 fra 7.

$$z=-\frac{18}{24}$$

Forkort brøken \frac{-18}{24} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 6.

$$z=-\frac{3}{4}$$

Faktoriser det opprinnelige uttrykket ved hjelp av ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Erstatt \frac{4}{3} med x_{1} og -\frac{3}{4} med x_{2}.

$$12z^{2}-7z-12=12\left(z-\frac{4}{3}\right)\left(z-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

Forenkle alle uttrykkene i formelen fra p-\left(-q\right) til p+q.

$$12z^{2}-7z-12=12\left(z-\frac{4}{3}\right)\left(z+\frac{3}{4}\right)$$

Trekk fra \frac{4}{3} fra z ved å finne en fellesnevner og trekke fra tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{3z-4}{3}\left(z+\frac{3}{4}\right)$$

Legg sammen \frac{3}{4} og z ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{3z-4}{3}\times \frac{4z+3}{4}$$

Multipliser \frac{3z-4}{3} med \frac{4z+3}{4} ved å multiplisere teller ganger teller og nevner ganger nevner. Forkort deretter brøken om mulig.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)}{3\times 4}$$

Multipliser 3 ganger 4.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)}{12}$$

Eliminer den største felles faktoren 12 i 12 og 12.

$$12z^{2}-7z-12=\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

Evaluer

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$