Løs 12x^2-102x+160=0

$$12 { x }^{ 2 } -102x+160=0$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}\approx 6,424664725$$

$$x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}\approx 2,075335275$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$12x^{2}-102x+160=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 12 for a, -102 for b og 160 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{\left(-102\right)^{2}-4\times 12\times 160}}{2\times 12}$$

Kvadrer -102.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-4\times 12\times 160}}{2\times 12}$$

Multipliser -4 ganger 12.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-48\times 160}}{2\times 12}$$

Multipliser -48 ganger 160.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-7680}}{2\times 12}$$

Legg sammen 10404 og -7680.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{2724}}{2\times 12}$$

Ta kvadratroten av 2724.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±2\sqrt{681}}{2\times 12}$$

Det motsatte av -102 er 102.

$$x=\frac{102±2\sqrt{681}}{2\times 12}$$

Multipliser 2 ganger 12.

$$x=\frac{102±2\sqrt{681}}{24}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{102±2\sqrt{681}}{24} når ± er pluss. Legg sammen 102 og 2\sqrt{681}.

$$x=\frac{2\sqrt{681}+102}{24}$$

Del 102+2\sqrt{681} på 24.

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{102±2\sqrt{681}}{24} når ± er minus. Trekk fra 2\sqrt{681} fra 102.

$$x=\frac{102-2\sqrt{681}}{24}$$

Del 102-2\sqrt{681} på 24.

$$x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4} x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-102x+160=0$$

Trekk fra 160 fra begge sider av ligningen.

$$12x^{2}-102x+160-160=-160$$

Når du trekker fra 160 fra seg selv har du 0 igjen.

$$12x^{2}-102x=-160$$

Del begge sidene på 12.

$$\frac{12x^{2}-102x}{12}=-\frac{160}{12}$$

Hvis du deler på 12, gjør du om gangingen med 12.

$$x^{2}+\left(-\frac{102}{12}\right)x=-\frac{160}{12}$$

Forkort brøken \frac{-102}{12} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 6.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x=-\frac{160}{12}$$

Forkort brøken \frac{-160}{12} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 4.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x=-\frac{40}{3}$$

Del -\frac{17}{2}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{17}{4}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{17}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x+\left(-\frac{17}{4}\right)^{2}=-\frac{40}{3}+\left(-\frac{17}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{17}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=-\frac{40}{3}+\frac{289}{16}$$

Legg sammen -\frac{40}{3} og \frac{289}{16} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=\frac{227}{48}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{17}{4}\right)^{2}=\frac{227}{48}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{227}{48}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{17}{4}=\frac{\sqrt{681}}{12} x-\frac{17}{4}=-\frac{\sqrt{681}}{12}$$

Legg til \frac{17}{4} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4} x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$