Løs 12x^2-12^2x+9>0

$$12 { x }^{ 2 } - { 12 }^{ 2 } x+9 > 0$$

Løs for x

$$x\in \left(-\infty,-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)\cup \left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6,\infty\right)$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Regn ut 12 opphøyd i 2 og få 144.

$$12x^{2}-144x+9>0$$

Faktoriser venstre side for å løse ulikheten. Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}-144x+9=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 12 med a, -144 med b, og 9 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-\left(-144\right)±\sqrt{\left(-144\right)^{2}-4\times 12\times 9}}{2\times 12}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{144±12\sqrt{141}}{24}$$

Løs ligningen x=\frac{144±12\sqrt{141}}{24} når ± er pluss og ± er minus.

$$x=\frac{\sqrt{141}}{2}+6 x=-\frac{\sqrt{141}}{2}+6$$

Skriv om ulikheten ved hjelp av de oppnådde løsningene.

$$12\left(x-\left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)\right)\left(x-\left(-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)\right)>0$$

Hvis produktet skal være positivt, x-\left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right) og x-\left(-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right) må være både negative eller positive. Vurder saken når både x-\left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right) og x-\left(-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right) er negative.

$$x-\left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)<0 x-\left(-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)<0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x<-\frac{\sqrt{141}}{2}+6.

$$x<-\frac{\sqrt{141}}{2}+6$$

Vurder saken når x-\left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right) og x-\left(-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right) er positive.

$$x-\left(-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)>0 x-\left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)>0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x>\frac{\sqrt{141}}{2}+6.

$$x>\frac{\sqrt{141}}{2}+6$$

Den siste løsningen er unionen av de oppnådde løsningene.

$$x<-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\text{; }x>\frac{\sqrt{141}}{2}+6$$