Løs 12x^2+36x+27=0

$$12 { x }^{ 2 } +36x+27=0$$

Løs for x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Del begge sidene på 3.

$$4x^{2}+12x+9=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 4x^{2}+ax+bx+9. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=12 ab=4\times 9=36$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er positiv, er a og b positive. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Beregn summen for hvert par.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

Løsningen er paret som gir Summer 12.

$$a=6 b=6$$

Skriv om 4x^{2}+12x+9 som \left(4x^{2}+6x\right)+\left(6x+9\right).

$$\left(4x^{2}+6x\right)+\left(6x+9\right)$$

Faktor ut 2x i den første og 3 i den andre gruppen.

$$2x\left(2x+3\right)+3\left(2x+3\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 2x+3 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(2x+3\right)\left(2x+3\right)$$

Skriv på nytt som et binomialt kvadrat.

$$\left(2x+3\right)^{2}$$

Hvis du vil finne formelløsningen, kan du løse 2x+3=0.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$12x^{2}+36x+27=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 12 for a, 36 for b og 27 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\times 27}}{2\times 12}$$

Kvadrer 36.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 12\times 27}}{2\times 12}$$

Multipliser -4 ganger 12.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-48\times 27}}{2\times 12}$$

Multipliser -48 ganger 27.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-1296}}{2\times 12}$$

Legg sammen 1296 og -1296.

$$x=\frac{-36±\sqrt{0}}{2\times 12}$$

Ta kvadratroten av 0.

$$x=-\frac{36}{2\times 12}$$

Multipliser 2 ganger 12.

$$x=-\frac{36}{24}$$

Forkort brøken \frac{-36}{24} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 12.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+36x+27=0$$

Trekk fra 27 fra begge sider av ligningen.

$$12x^{2}+36x+27-27=-27$$

Når du trekker fra 27 fra seg selv har du 0 igjen.

$$12x^{2}+36x=-27$$

Del begge sidene på 12.

$$\frac{12x^{2}+36x}{12}=-\frac{27}{12}$$

Hvis du deler på 12, gjør du om gangingen med 12.

$$x^{2}+\frac{36}{12}x=-\frac{27}{12}$$

Del 36 på 12.

$$x^{2}+3x=-\frac{27}{12}$$

Forkort brøken \frac{-27}{12} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 3.

$$x^{2}+3x=-\frac{9}{4}$$

Del 3, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{3}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{3}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{3}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{-9+9}{4}$$

Legg sammen -\frac{9}{4} og \frac{9}{4} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=0$$

Faktoriser x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=0$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Forenkle.

$$x+\frac{3}{2}=0 x+\frac{3}{2}=0$$

Trekk fra \frac{3}{2} fra begge sider av ligningen.

$$x=-\frac{3}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Ligningen er nå løst. Løsninger er de samme.

$$x=-\frac{3}{2}$$