Løs 12x^2+25x-45=0

$$12 { x }^{ 2 } +25x-45=0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{2785} - 25}{24} \approx 1,157212467$$

$$x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}\approx -3,2405458$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$12x^{2}+25x-45=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 12 for a, 25 for b og -45 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 12\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

Kvadrer 25.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 12\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

Multipliser -4 ganger 12.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-48\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

Multipliser -48 ganger -45.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625+2160}}{2\times 12}$$

Legg sammen 625 og 2160.

$$x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{2\times 12}$$

Multipliser 2 ganger 12.

$$x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24} når ± er pluss. Legg sammen -25 og \sqrt{2785}.

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24} når ± er minus. Trekk fra \sqrt{2785} fra -25.

$$x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24} x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+25x-45=0$$

Legg til 45 på begge sider av ligningen.

$$12x^{2}+25x-45-\left(-45\right)=-\left(-45\right)$$

Når du trekker fra -45 fra seg selv har du 0 igjen.

$$12x^{2}+25x=-\left(-45\right)$$

Trekk fra -45 fra 0.

$$12x^{2}+25x=45$$

Del begge sidene på 12.

$$\frac{12x^{2}+25x}{12}=\frac{45}{12}$$

Hvis du deler på 12, gjør du om gangingen med 12.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x=\frac{45}{12}$$

Forkort brøken \frac{45}{12} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 3.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x=\frac{15}{4}$$

Divider \frac{25}{12}, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få \frac{25}{24}. Legg deretter til kvadratet av \frac{25}{24} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{25}{24} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576}=\frac{15}{4}+\frac{625}{576}$$

Legg sammen \frac{15}{4} og \frac{625}{576} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576}=\frac{2785}{576}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{2785}{576}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2785}{576}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{25}{24}=\frac{\sqrt{2785}}{24} x+\frac{25}{24}=-\frac{\sqrt{2785}}{24}$$

Trekk fra \frac{25}{24} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24} x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$