Løs 12x^2+13x+3=0

$$12 { x }^{ 2 } +13x+3 = 0$$

Løs for x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 12x^{2}+ax+bx+3. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=13 ab=12\times 3=36$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er positiv, er a og b positive. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Beregn summen for hvert par.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

Løsningen er paret som gir Summer 13.

$$a=4 b=9$$

Skriv om 12x^{2}+13x+3 som \left(12x^{2}+4x\right)+\left(9x+3\right).

$$\left(12x^{2}+4x\right)+\left(9x+3\right)$$

Faktor ut 4x i den første og 3 i den andre gruppen.

$$4x\left(3x+1\right)+3\left(3x+1\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 3x+1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(3x+1\right)\left(4x+3\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 3x+1=0 og 4x+3=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$12x^{2}+13x+3=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 12 for a, 13 for b og 3 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 12\times 3}}{2\times 12}$$

Kvadrer 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 12\times 3}}{2\times 12}$$

Multipliser -4 ganger 12.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-48\times 3}}{2\times 12}$$

Multipliser -48 ganger 3.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-144}}{2\times 12}$$

Legg sammen 169 og -144.

$$x=\frac{-13±\sqrt{25}}{2\times 12}$$

Ta kvadratroten av 25.

$$x=\frac{-13±5}{2\times 12}$$

Multipliser 2 ganger 12.

$$x=\frac{-13±5}{24}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-13±5}{24} når ± er pluss. Legg sammen -13 og 5.

$$x=-\frac{8}{24}$$

Forkort brøken \frac{-8}{24} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 8.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-13±5}{24} når ± er minus. Trekk fra 5 fra -13.

$$x=-\frac{18}{24}$$

Forkort brøken \frac{-18}{24} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 6.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+13x+3=0$$

Trekk fra 3 fra begge sider av ligningen.

$$12x^{2}+13x+3-3=-3$$

Når du trekker fra 3 fra seg selv har du 0 igjen.

$$12x^{2}+13x=-3$$

Del begge sidene på 12.

$$\frac{12x^{2}+13x}{12}=-\frac{3}{12}$$

Hvis du deler på 12, gjør du om gangingen med 12.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x=-\frac{3}{12}$$

Forkort brøken \frac{-3}{12} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 3.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x=-\frac{1}{4}$$

Del \frac{13}{12}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{13}{24}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{13}{24} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\left(\frac{13}{24}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{13}{24}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{13}{24} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=-\frac{1}{4}+\frac{169}{576}$$

Legg sammen -\frac{1}{4} og \frac{169}{576} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=\frac{25}{576}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{24}\right)^{2}=\frac{25}{576}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{576}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{13}{24}=\frac{5}{24} x+\frac{13}{24}=-\frac{5}{24}$$

Trekk fra \frac{13}{24} fra begge sider av ligningen.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$