Løs 11y=3y^2-4

$$11 y = 3 y ^ { 2 } - 4$$

Løs for y

$$y=4$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Trekk fra 3y^{2} fra begge sider.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Legg til 4 på begge sider.

$$11y-3y^{2}+4=0$$

Skriv polynomet på standardform ved å plassere leddene i rekkefølge fra høyeste til laveste potens.

$$-3y^{2}+11y+4=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som -3y^{2}+ay+by+4. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=11 ab=-3\times 4=-12$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Løsningen er paret som gir Summer 11.

$$a=12 b=-1$$

Skriv om -3y^{2}+11y+4 som \left(-3y^{2}+12y\right)+\left(-y+4\right).

$$\left(-3y^{2}+12y\right)+\left(-y+4\right)$$

Faktorer ut 3y i -3y^{2}+12y.

$$3y\left(-y+4\right)-y+4$$

Faktorer ut det felles leddet -y+4 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(-y+4\right)\left(3y+1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse -y+4=0 og 3y+1=0.

$$y=4 y=-\frac{1}{3}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Trekk fra 3y^{2} fra begge sider.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Legg til 4 på begge sider.

$$11y-3y^{2}+4=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-3y^{2}+11y+4=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -3 for a, 11 for b og 4 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrer 11.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Multipliser -4 ganger -3.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+12\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Multipliser 12 ganger 4.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-3\right)}$$

Legg sammen 121 og 48.

$$y=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-3\right)}$$

Ta kvadratroten av 169.

$$y=\frac{-11±13}{2\left(-3\right)}$$

Multipliser 2 ganger -3.

$$y=\frac{-11±13}{-6}$$

Nå kan du løse formelen y=\frac{-11±13}{-6} når ± er pluss. Legg sammen -11 og 13.

$$y=\frac{2}{-6}$$

Forkort brøken \frac{2}{-6} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Nå kan du løse formelen y=\frac{-11±13}{-6} når ± er minus. Trekk fra 13 fra -11.

$$y=-\frac{24}{-6}$$

Del -24 på -6.

$$y=4$$

Ligningen er nå løst.

$$y=-\frac{1}{3} y=4$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Trekk fra 3y^{2} fra begge sider.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-3y^{2}+11y=-4$$

Del begge sidene på -3.

$$\frac{-3y^{2}+11y}{-3}=-\frac{4}{-3}$$

Hvis du deler på -3, gjør du om gangingen med -3.

$$y^{2}+\frac{11}{-3}y=-\frac{4}{-3}$$

Del 11 på -3.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=-\frac{4}{-3}$$

Del -4 på -3.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=\frac{4}{3}$$

Del -\frac{11}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{11}{6}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{11}{6} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{11}{6} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{4}{3}+\frac{121}{36}$$

Legg sammen \frac{4}{3} og \frac{121}{36} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{169}{36}$$

Faktoriser y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Forenkle.

$$y-\frac{11}{6}=\frac{13}{6} y-\frac{11}{6}=-\frac{13}{6}$$

Legg til \frac{11}{6} på begge sider av ligningen.

$$y=4 y=-\frac{1}{3}$$