Løs 11x^2-12x+3=0

$$11 x ^ { 2 } - 12 x + 3 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{3}+6}{11}\approx 0,70291371$$

$$x=\frac{6-\sqrt{3}}{11}\approx 0,387995381$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$11x^{2}-12x+3=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 11 for a, -12 for b og 3 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 11\times 3}}{2\times 11}$$

Kvadrer -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 11\times 3}}{2\times 11}$$

Multipliser -4 ganger 11.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-44\times 3}}{2\times 11}$$

Multipliser -44 ganger 3.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-132}}{2\times 11}$$

Legg sammen 144 og -132.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{12}}{2\times 11}$$

Ta kvadratroten av 12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±2\sqrt{3}}{2\times 11}$$

Det motsatte av -12 er 12.

$$x=\frac{12±2\sqrt{3}}{2\times 11}$$

Multipliser 2 ganger 11.

$$x=\frac{12±2\sqrt{3}}{22}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{12±2\sqrt{3}}{22} når ± er pluss. Legg sammen 12 og 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+12}{22}$$

Del 12+2\sqrt{3} på 22.

$$x=\frac{\sqrt{3}+6}{11}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{12±2\sqrt{3}}{22} når ± er minus. Trekk fra 2\sqrt{3} fra 12.

$$x=\frac{12-2\sqrt{3}}{22}$$

Del 12-2\sqrt{3} på 22.

$$x=\frac{6-\sqrt{3}}{11}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{3}+6}{11} x=\frac{6-\sqrt{3}}{11}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$11x^{2}-12x+3=0$$

Trekk fra 3 fra begge sider av ligningen.

$$11x^{2}-12x+3-3=-3$$

Når du trekker fra 3 fra seg selv har du 0 igjen.

$$11x^{2}-12x=-3$$

Del begge sidene på 11.

$$\frac{11x^{2}-12x}{11}=-\frac{3}{11}$$

Hvis du deler på 11, gjør du om gangingen med 11.

$$x^{2}-\frac{12}{11}x=-\frac{3}{11}$$

Del -\frac{12}{11}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{6}{11}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{6}{11} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{12}{11}x+\left(-\frac{6}{11}\right)^{2}=-\frac{3}{11}+\left(-\frac{6}{11}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{6}{11} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{12}{11}x+\frac{36}{121}=-\frac{3}{11}+\frac{36}{121}$$

Legg sammen -\frac{3}{11} og \frac{36}{121} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{12}{11}x+\frac{36}{121}=\frac{3}{121}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{12}{11}x+\frac{36}{121}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{6}{11}\right)^{2}=\frac{3}{121}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{11}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{121}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{6}{11}=\frac{\sqrt{3}}{11} x-\frac{6}{11}=-\frac{\sqrt{3}}{11}$$

Legg til \frac{6}{11} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{3}+6}{11} x=\frac{6-\sqrt{3}}{11}$$