Løs 11x^2-9x+1>0

$$11 { x }^{ 2 } -9x+1 > 0$$

Løs for x

$$x\in \left(-\infty,\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{37}+9}{22},\infty\right)$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Faktoriser venstre side for å løse ulikheten. Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$11x^{2}-9x+1=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 11 med a, -9 med b, og 1 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 11\times 1}}{2\times 11}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{9±\sqrt{37}}{22}$$

Løs ligningen x=\frac{9±\sqrt{37}}{22} når ± er pluss og ± er minus.

$$x=\frac{\sqrt{37}+9}{22} x=\frac{9-\sqrt{37}}{22}$$

Skriv om ulikheten ved hjelp av de oppnådde løsningene.

$$11\left(x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}\right)\left(x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)>0$$

Hvis produktet skal være positivt, x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} og x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} må være både negative eller positive. Vurder saken når både x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} og x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} er negative.

$$x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}<0 x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}<0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}.

$$x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}$$

Vurder saken når x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} og x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} er positive.

$$x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}>0 x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}>0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}.

$$x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}$$

Den siste løsningen er unionen av de oppnådde løsningene.

$$x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}\text{; }x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}$$