Løs 11x^2+9x+4=0

$$11 { x }^{ 2 } +9x+4=0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-9+\sqrt{95}i}{22}\approx -0,409090909+0,443036107i$$

$$x=\frac{-\sqrt{95}i-9}{22}\approx -0,409090909-0,443036107i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$11x^{2}+9x+4=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 11 for a, 9 for b og 4 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 11\times 4}}{2\times 11}$$

Kvadrer 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 11\times 4}}{2\times 11}$$

Multipliser -4 ganger 11.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-44\times 4}}{2\times 11}$$

Multipliser -44 ganger 4.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-176}}{2\times 11}$$

Legg sammen 81 og -176.

$$x=\frac{-9±\sqrt{-95}}{2\times 11}$$

Ta kvadratroten av -95.

$$x=\frac{-9±\sqrt{95}i}{2\times 11}$$

Multipliser 2 ganger 11.

$$x=\frac{-9±\sqrt{95}i}{22}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-9±\sqrt{95}i}{22} når ± er pluss. Legg sammen -9 og i\sqrt{95}.

$$x=\frac{-9+\sqrt{95}i}{22}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-9±\sqrt{95}i}{22} når ± er minus. Trekk fra i\sqrt{95} fra -9.

$$x=\frac{-\sqrt{95}i-9}{22}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{-9+\sqrt{95}i}{22} x=\frac{-\sqrt{95}i-9}{22}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$11x^{2}+9x+4=0$$

Trekk fra 4 fra begge sider av ligningen.

$$11x^{2}+9x+4-4=-4$$

Når du trekker fra 4 fra seg selv har du 0 igjen.

$$11x^{2}+9x=-4$$

Del begge sidene på 11.

$$\frac{11x^{2}+9x}{11}=-\frac{4}{11}$$

Hvis du deler på 11, gjør du om gangingen med 11.

$$x^{2}+\frac{9}{11}x=-\frac{4}{11}$$

Divider \frac{9}{11}, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få \frac{9}{22}. Legg deretter til kvadratet av \frac{9}{22} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{9}{11}x+\left(\frac{9}{22}\right)^{2}=-\frac{4}{11}+\left(\frac{9}{22}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{9}{22} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{9}{11}x+\frac{81}{484}=-\frac{4}{11}+\frac{81}{484}$$

Legg sammen -\frac{4}{11} og \frac{81}{484} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{9}{11}x+\frac{81}{484}=-\frac{95}{484}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{9}{11}x+\frac{81}{484}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{9}{22}\right)^{2}=-\frac{95}{484}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{22}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{95}{484}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{9}{22}=\frac{\sqrt{95}i}{22} x+\frac{9}{22}=-\frac{\sqrt{95}i}{22}$$

Trekk fra \frac{9}{22} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{-9+\sqrt{95}i}{22} x=\frac{-\sqrt{95}i-9}{22}$$