Løs 101y^2-10y=-24

$$101 { y }^{ 2 } -10y=-24$$

Løs for y

$$y=\frac{5+\sqrt{2399}i}{101}\approx 0,04950495+0,484946412i$$

$$y=\frac{-\sqrt{2399}i+5}{101}\approx 0,04950495-0,484946412i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$101y^{2}-10y=-24$$

Legg til 24 på begge sider av ligningen.

$$101y^{2}-10y-\left(-24\right)=-24-\left(-24\right)$$

Når du trekker fra -24 fra seg selv har du 0 igjen.

$$101y^{2}-10y-\left(-24\right)=0$$

Trekk fra -24 fra 0.

$$101y^{2}-10y+24=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 101 for a, -10 for b og 24 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 101\times 24}}{2\times 101}$$

Kvadrer -10.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 101\times 24}}{2\times 101}$$

Multipliser -4 ganger 101.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-404\times 24}}{2\times 101}$$

Multipliser -404 ganger 24.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-9696}}{2\times 101}$$

Legg sammen 100 og -9696.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-9596}}{2\times 101}$$

Ta kvadratroten av -9596.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{2399}i}{2\times 101}$$

Det motsatte av -10 er 10.

$$y=\frac{10±2\sqrt{2399}i}{2\times 101}$$

Multipliser 2 ganger 101.

$$y=\frac{10±2\sqrt{2399}i}{202}$$

Nå kan du løse formelen y=\frac{10±2\sqrt{2399}i}{202} når ± er pluss. Legg sammen 10 og 2i\sqrt{2399}.

$$y=\frac{10+2\sqrt{2399}i}{202}$$

Del 10+2i\sqrt{2399} på 202.

$$y=\frac{5+\sqrt{2399}i}{101}$$

Nå kan du løse formelen y=\frac{10±2\sqrt{2399}i}{202} når ± er minus. Trekk fra 2i\sqrt{2399} fra 10.

$$y=\frac{-2\sqrt{2399}i+10}{202}$$

Del 10-2i\sqrt{2399} på 202.

$$y=\frac{-\sqrt{2399}i+5}{101}$$

Ligningen er nå løst.

$$y=\frac{5+\sqrt{2399}i}{101} y=\frac{-\sqrt{2399}i+5}{101}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$101y^{2}-10y=-24$$

Del begge sidene på 101.

$$\frac{101y^{2}-10y}{101}=-\frac{24}{101}$$

Hvis du deler på 101, gjør du om gangingen med 101.

$$y^{2}-\frac{10}{101}y=-\frac{24}{101}$$

Del -\frac{10}{101}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{5}{101}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{5}{101} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$y^{2}-\frac{10}{101}y+\left(-\frac{5}{101}\right)^{2}=-\frac{24}{101}+\left(-\frac{5}{101}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{5}{101} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$y^{2}-\frac{10}{101}y+\frac{25}{10201}=-\frac{24}{101}+\frac{25}{10201}$$

Legg sammen -\frac{24}{101} og \frac{25}{10201} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$y^{2}-\frac{10}{101}y+\frac{25}{10201}=-\frac{2399}{10201}$$

Faktoriser y^{2}-\frac{10}{101}y+\frac{25}{10201}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{5}{101}\right)^{2}=-\frac{2399}{10201}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(y-\frac{5}{101}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2399}{10201}}$$

Forenkle.

$$y-\frac{5}{101}=\frac{\sqrt{2399}i}{101} y-\frac{5}{101}=-\frac{\sqrt{2399}i}{101}$$

Legg til \frac{5}{101} på begge sider av ligningen.

$$y=\frac{5+\sqrt{2399}i}{101} y=\frac{-\sqrt{2399}i+5}{101}$$