Løs 10x^2+7x-12=0

$$10 x ^ { 2 } + 7 x - 12 = 0$$

Løs for x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 10x^{2}+ax+bx-12. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=7 ab=10\left(-12\right)=-120$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Løsningen er paret som gir Summer 7.

$$a=-8 b=15$$

Skriv om 10x^{2}+7x-12 som \left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right).

$$\left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right)$$

Faktor ut 2x i den første og 3 i den andre gruppen.

$$2x\left(5x-4\right)+3\left(5x-4\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 5x-4 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(5x-4\right)\left(2x+3\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 5x-4=0 og 2x+3=0.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 10 for a, 7 for b og -12 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Kvadrer 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Multipliser -4 ganger 10.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Multipliser -40 ganger -12.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+480}}{2\times 10}$$

Legg sammen 49 og 480.

$$x=\frac{-7±\sqrt{529}}{2\times 10}$$

Ta kvadratroten av 529.

$$x=\frac{-7±23}{2\times 10}$$

Multipliser 2 ganger 10.

$$x=\frac{-7±23}{20}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-7±23}{20} når ± er pluss. Legg sammen -7 og 23.

$$x=\frac{16}{20}$$

Forkort brøken \frac{16}{20} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 4.

$$x=\frac{4}{5}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-7±23}{20} når ± er minus. Trekk fra 23 fra -7.

$$x=-\frac{30}{20}$$

Forkort brøken \frac{-30}{20} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 10.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

Legg til 12 på begge sider av ligningen.

$$10x^{2}+7x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Når du trekker fra -12 fra seg selv har du 0 igjen.

$$10x^{2}+7x=-\left(-12\right)$$

Trekk fra -12 fra 0.

$$10x^{2}+7x=12$$

Del begge sidene på 10.

$$\frac{10x^{2}+7x}{10}=\frac{12}{10}$$

Hvis du deler på 10, gjør du om gangingen med 10.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{12}{10}$$

Forkort brøken \frac{12}{10} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{6}{5}$$

Del \frac{7}{10}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{7}{20}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{7}{20} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{6}{5}+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{7}{20} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{6}{5}+\frac{49}{400}$$

Legg sammen \frac{6}{5} og \frac{49}{400} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{529}{400}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{529}{400}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{400}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{7}{20}=\frac{23}{20} x+\frac{7}{20}=-\frac{23}{20}$$

Trekk fra \frac{7}{20} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$