Løs 10n^2+53n+36

$$10 n ^ { 2 } + 53 n + 36$$

Faktoriser

$$\left(2n+9\right)\left(5n+4\right)$$

Løsningstrinn

Faktor iser uttrykket ved å gruppere. Først må uttrykket omskrives som 10n^{2}+an+bn+36. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=53 ab=10\times 36=360$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er positiv, er a og b positive. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 360.

$$1,360 2,180 3,120 4,90 5,72 6,60 8,45 9,40 10,36 12,30 15,24 18,20$$

Beregn summen for hvert par.

$$1+360=361 2+180=182 3+120=123 4+90=94 5+72=77 6+60=66 8+45=53 9+40=49 10+36=46 12+30=42 15+24=39 18+20=38$$

Løsningen er paret som gir Summer 53.

$$a=8 b=45$$

Skriv om 10n^{2}+53n+36 som \left(10n^{2}+8n\right)+\left(45n+36\right).

$$\left(10n^{2}+8n\right)+\left(45n+36\right)$$

Faktor ut 2n i den første og 9 i den andre gruppen.

$$2n\left(5n+4\right)+9\left(5n+4\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 5n+4 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(5n+4\right)\left(2n+9\right)$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$10n^{2}+53n+36=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$n=\frac{-53±\sqrt{53^{2}-4\times 10\times 36}}{2\times 10}$$

Kvadrer 53.

$$n=\frac{-53±\sqrt{2809-4\times 10\times 36}}{2\times 10}$$

Multipliser -4 ganger 10.

$$n=\frac{-53±\sqrt{2809-40\times 36}}{2\times 10}$$

Multipliser -40 ganger 36.

$$n=\frac{-53±\sqrt{2809-1440}}{2\times 10}$$

Legg sammen 2809 og -1440.

$$n=\frac{-53±\sqrt{1369}}{2\times 10}$$

Ta kvadratroten av 1369.

$$n=\frac{-53±37}{2\times 10}$$

Multipliser 2 ganger 10.

$$n=\frac{-53±37}{20}$$

Nå kan du løse formelen n=\frac{-53±37}{20} når ± er pluss. Legg sammen -53 og 37.

$$n=-\frac{16}{20}$$

Forkort brøken \frac{-16}{20} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 4.

$$n=-\frac{4}{5}$$

Nå kan du løse formelen n=\frac{-53±37}{20} når ± er minus. Trekk fra 37 fra -53.

$$n=-\frac{90}{20}$$

Forkort brøken \frac{-90}{20} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 10.

$$n=-\frac{9}{2}$$

Faktoriser det opprinnelige uttrykket ved hjelp av ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Erstatt -\frac{4}{5} med x_{1} og -\frac{9}{2} med x_{2}.

$$10n^{2}+53n+36=10\left(n-\left(-\frac{4}{5}\right)\right)\left(n-\left(-\frac{9}{2}\right)\right)$$

Forenkle alle uttrykkene i formelen fra p-\left(-q\right)til p+q.

$$10n^{2}+53n+36=10\left(n+\frac{4}{5}\right)\left(n+\frac{9}{2}\right)$$

Legg sammen \frac{4}{5} og n ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$10n^{2}+53n+36=10\times \frac{5n+4}{5}\left(n+\frac{9}{2}\right)$$

Legg sammen \frac{9}{2} og n ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$10n^{2}+53n+36=10\times \frac{5n+4}{5}\times \frac{2n+9}{2}$$

Multipliser \frac{5n+4}{5} med \frac{2n+9}{2} ved å multiplisere teller ganger teller og nevner ganger nevner. Forkort deretter brøken om mulig.

$$10n^{2}+53n+36=10\times \frac{\left(5n+4\right)\left(2n+9\right)}{5\times 2}$$

Multipliser 5 ganger 2.

$$10n^{2}+53n+36=10\times \frac{\left(5n+4\right)\left(2n+9\right)}{10}$$

Opphev den største felles faktoren 10 i 10 og 10.

$$10n^{2}+53n+36=\left(5n+4\right)\left(2n+9\right)$$

Evaluer

$$\left(2n+9\right)\left(5n+4\right)$$