Løs 10k^2+9k-1=0

$$10 k ^ { 2 } + 9 k - 1 = 0$$

Løs for k

$$k=-1$$

$$k=\frac{1}{10}=0,1$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 10k^{2}+ak+bk-1. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=9 ab=10\left(-1\right)=-10$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -10.

$$-1,10 -2,5$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Løsningen er paret som gir Summer 9.

$$a=-1 b=10$$

Skriv om 10k^{2}+9k-1 som \left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right).

$$\left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right)$$

Faktorer ut k i 10k^{2}-k.

$$k\left(10k-1\right)+10k-1$$

Faktorer ut det felles leddet 10k-1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(10k-1\right)\left(k+1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 10k-1=0 og k+1=0.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 10 for a, 9 for b og -1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Kvadrer 9.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Multipliser -4 ganger 10.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-40\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Multipliser -40 ganger -1.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\times 10}$$

Legg sammen 81 og 40.

$$k=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

Ta kvadratroten av 121.

$$k=\frac{-9±11}{2\times 10}$$

Multipliser 2 ganger 10.

$$k=\frac{-9±11}{20}$$

Nå kan du løse formelen k=\frac{-9±11}{20} når ± er pluss. Legg sammen -9 og 11.

$$k=\frac{2}{20}$$

Forkort brøken \frac{2}{20} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$k=\frac{1}{10}$$

Nå kan du løse formelen k=\frac{-9±11}{20} når ± er minus. Trekk fra 11 fra -9.

$$k=-\frac{20}{20}$$

Del -20 på 20.

$$k=-1$$

Ligningen er nå løst.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Legg til 1 på begge sider av ligningen.

$$10k^{2}+9k-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Når du trekker fra -1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$10k^{2}+9k=-\left(-1\right)$$

Trekk fra -1 fra 0.

$$10k^{2}+9k=1$$

Del begge sidene på 10.

$$\frac{10k^{2}+9k}{10}=\frac{1}{10}$$

Hvis du deler på 10, gjør du om gangingen med 10.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k=\frac{1}{10}$$

Del \frac{9}{10}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{9}{20}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{9}{20} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{9}{20} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{1}{10}+\frac{81}{400}$$

Legg sammen \frac{1}{10} og \frac{81}{400} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{121}{400}$$

Faktoriser k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

Forenkle.

$$k+\frac{9}{20}=\frac{11}{20} k+\frac{9}{20}=-\frac{11}{20}$$

Trekk fra \frac{9}{20} fra begge sider av ligningen.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$