Løs 10x^2+10x+8=3x^2-10x+11

$$10 { x }^{ 2 } +10x+8=3 { x }^{ 2 } -10x+11$$

Løs for x

$$x=-3$$

$$x=\frac{1}{7}\approx 0,142857143$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Trekk fra 3x^{2} fra begge sider.

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

Kombiner 10x^{2} og -3x^{2} for å få 7x^{2}.

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

Legg til 10x på begge sider.

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

Kombiner 10x og 10x for å få 20x.

$$7x^{2}+20x+8=11$$

Trekk fra 11 fra begge sider.

$$7x^{2}+20x+8-11=0$$

Trekk fra 11 fra 8 for å få -3.

$$7x^{2}+20x-3=0$$

For å løse ligningen faktoriserer du venstre side ved å gruppere. Først må venstre side omskrives som 7x^{2}+ax+bx-3. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=20 ab=7\left(-3\right)=-21$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -21.

$$-1,21 -3,7$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+21=20 -3+7=4$$

Løsningen er paret som gir Summer 20.

$$a=-1 b=21$$

Skriv om 7x^{2}+20x-3 som \left(7x^{2}-x\right)+\left(21x-3\right).

$$\left(7x^{2}-x\right)+\left(21x-3\right)$$

Faktor ut x i den første og 3 i den andre gruppen.

$$x\left(7x-1\right)+3\left(7x-1\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 7x-1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(7x-1\right)\left(x+3\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 7x-1=0 og x+3=0.

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Trekk fra 3x^{2} fra begge sider.

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

Kombiner 10x^{2} og -3x^{2} for å få 7x^{2}.

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

Legg til 10x på begge sider.

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

Kombiner 10x og 10x for å få 20x.

$$7x^{2}+20x+8=11$$

Trekk fra 11 fra begge sider.

$$7x^{2}+20x+8-11=0$$

Trekk fra 11 fra 8 for å få -3.

$$7x^{2}+20x-3=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 7 for a, 20 for b og -3 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Kvadrer 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Multipliser -4 ganger 7.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-28\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Multipliser -28 ganger -3.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+84}}{2\times 7}$$

Legg sammen 400 og 84.

$$x=\frac{-20±\sqrt{484}}{2\times 7}$$

Ta kvadratroten av 484.

$$x=\frac{-20±22}{2\times 7}$$

Multipliser 2 ganger 7.

$$x=\frac{-20±22}{14}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-20±22}{14} når ± er pluss. Legg sammen -20 og 22.

$$x=\frac{2}{14}$$

Forkort brøken \frac{2}{14} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=\frac{1}{7}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-20±22}{14} når ± er minus. Trekk fra 22 fra -20.

$$x=-\frac{42}{14}$$

Del -42 på 14.

$$x=-3$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Trekk fra 3x^{2} fra begge sider.

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

Kombiner 10x^{2} og -3x^{2} for å få 7x^{2}.

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

Legg til 10x på begge sider.

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

Kombiner 10x og 10x for å få 20x.

$$7x^{2}+20x+8=11$$

Trekk fra 8 fra begge sider.

$$7x^{2}+20x=11-8$$

Trekk fra 8 fra 11 for å få 3.

$$7x^{2}+20x=3$$

Del begge sidene på 7.

$$\frac{7x^{2}+20x}{7}=\frac{3}{7}$$

Hvis du deler på 7, gjør du om gangingen med 7.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x=\frac{3}{7}$$

Divider \frac{20}{7}, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få \frac{10}{7}. Legg deretter til kvadratet av \frac{10}{7} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\left(\frac{10}{7}\right)^{2}=\frac{3}{7}+\left(\frac{10}{7}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{10}{7} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49}=\frac{3}{7}+\frac{100}{49}$$

Legg sammen \frac{3}{7} og \frac{100}{49} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49}=\frac{121}{49}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{10}{7}\right)^{2}=\frac{121}{49}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{10}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{49}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{10}{7}=\frac{11}{7} x+\frac{10}{7}=-\frac{11}{7}$$

Trekk fra \frac{10}{7} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$