Løs 0=4x^2-x-3

$$0 = 4 x ^ { 2 } - x - 3$$

Løs for x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=1$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Bytt om sidene, slik at alle variabelledd er på venstre side.

$$4x^{2}-x-3=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 4x^{2}+ax+bx-3. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-1 ab=4\left(-3\right)=-12$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Løsningen er paret som gir Summer -1.

$$a=-4 b=3$$

Skriv om 4x^{2}-x-3 som \left(4x^{2}-4x\right)+\left(3x-3\right).

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(3x-3\right)$$

Faktor ut 4x i den første og 3 i den andre gruppen.

$$4x\left(x-1\right)+3\left(x-1\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-1\right)\left(4x+3\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-1=0 og 4x+3=0.

$$x=1 x=-\frac{3}{4}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Bytt om sidene, slik at alle variabelledd er på venstre side.

$$4x^{2}-x-3=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 4 for a, -1 for b og -3 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -4 ganger 4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-16\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -16 ganger -3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+48}}{2\times 4}$$

Legg sammen 1 og 48.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{49}}{2\times 4}$$

Ta kvadratroten av 49.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±7}{2\times 4}$$

Det motsatte av -1 er 1.

$$x=\frac{1±7}{2\times 4}$$

Multipliser 2 ganger 4.

$$x=\frac{1±7}{8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{1±7}{8} når ± er pluss. Legg sammen 1 og 7.

$$x=\frac{8}{8}$$

Del 8 på 8.

$$x=1$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{1±7}{8} når ± er minus. Trekk fra 7 fra 1.

$$x=-\frac{6}{8}$$

Forkort brøken \frac{-6}{8} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=1 x=-\frac{3}{4}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Bytt om sidene, slik at alle variabelledd er på venstre side.

$$4x^{2}-x-3=0$$

Legg til 3 på begge sider. Hvilket som helst tall pluss null gir seg selv.

$$4x^{2}-x=3$$

Del begge sidene på 4.

$$\frac{4x^{2}-x}{4}=\frac{3}{4}$$

Hvis du deler på 4, gjør du om gangingen med 4.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x=\frac{3}{4}$$

Del -\frac{1}{4}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{1}{8}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{1}{8} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{1}{8} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{3}{4}+\frac{1}{64}$$

Legg sammen \frac{3}{4} og \frac{1}{64} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{49}{64}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{1}{8}=\frac{7}{8} x-\frac{1}{8}=-\frac{7}{8}$$

Legg til \frac{1}{8} på begge sider av ligningen.

$$x=1 x=-\frac{3}{4}$$