Løs 0=-16t^2+48t-32

$$0 = - 16 t ^ { 2 } + 48 t - 32$$

Løs for t

$$t=1$$

$$t=2$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Bytt om sidene, slik at alle variabelledd er på venstre side.

$$-16t^{2}+48t-32=0$$

Del begge sidene på 16.

$$-t^{2}+3t-2=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som -t^{2}+at+bt-2. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=3 ab=-\left(-2\right)=2$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er positiv, er a og b positive. Det eneste paret er system løsningen.

$$a=2 b=1$$

Skriv om -t^{2}+3t-2 som \left(-t^{2}+2t\right)+\left(t-2\right).

$$\left(-t^{2}+2t\right)+\left(t-2\right)$$

Faktorer ut -t i -t^{2}+2t.

$$-t\left(t-2\right)+t-2$$

Faktorer ut det felles leddet t-2 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(t-2\right)\left(-t+1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse t-2=0 og -t+1=0.

$$t=2 t=1$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Bytt om sidene, slik at alle variabelledd er på venstre side.

$$-16t^{2}+48t-32=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -16 for a, 48 for b og -32 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\left(-16\right)\left(-32\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Kvadrer 48.

$$t=\frac{-48±\sqrt{2304-4\left(-16\right)\left(-32\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Multipliser -4 ganger -16.

$$t=\frac{-48±\sqrt{2304+64\left(-32\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Multipliser 64 ganger -32.

$$t=\frac{-48±\sqrt{2304-2048}}{2\left(-16\right)}$$

Legg sammen 2304 og -2048.

$$t=\frac{-48±\sqrt{256}}{2\left(-16\right)}$$

Ta kvadratroten av 256.

$$t=\frac{-48±16}{2\left(-16\right)}$$

Multipliser 2 ganger -16.

$$t=\frac{-48±16}{-32}$$

Nå kan du løse formelen t=\frac{-48±16}{-32} når ± er pluss. Legg sammen -48 og 16.

$$t=-\frac{32}{-32}$$

Del -32 på -32.

$$t=1$$

Nå kan du løse formelen t=\frac{-48±16}{-32} når ± er minus. Trekk fra 16 fra -48.

$$t=-\frac{64}{-32}$$

Del -64 på -32.

$$t=2$$

Ligningen er nå løst.

$$t=1 t=2$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Bytt om sidene, slik at alle variabelledd er på venstre side.

$$-16t^{2}+48t-32=0$$

Legg til 32 på begge sider. Hvilket som helst tall pluss null gir seg selv.

$$-16t^{2}+48t=32$$

Del begge sidene på -16.

$$\frac{-16t^{2}+48t}{-16}=\frac{32}{-16}$$

Hvis du deler på -16, gjør du om gangingen med -16.

$$t^{2}+\frac{48}{-16}t=\frac{32}{-16}$$

Del 48 på -16.

$$t^{2}-3t=\frac{32}{-16}$$

Del 32 på -16.

$$t^{2}-3t=-2$$

Del -3, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{3}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{3}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$t^{2}-3t+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{3}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

Legg sammen -2 og \frac{9}{4}.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

Faktoriser t^{2}-3t+\frac{9}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Forenkle.

$$t-\frac{3}{2}=\frac{1}{2} t-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

Legg til \frac{3}{2} på begge sider av ligningen.

$$t=2 t=1$$