Løs -4x^2+20x-47=0

$$-4 { x }^{ 2 } +20x-47=0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}\approx 2,5-2,34520788i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}\approx 2,5+2,34520788i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -4 for a, 20 for b og -47 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kvadrer 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multipliser -4 ganger -4.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+16\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multipliser 16 ganger -47.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-752}}{2\left(-4\right)}$$

Legg sammen 400 og -752.

$$x=\frac{-20±\sqrt{-352}}{2\left(-4\right)}$$

Ta kvadratroten av -352.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{2\left(-4\right)}$$

Multipliser 2 ganger -4.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} når ± er pluss. Legg sammen -20 og 4i\sqrt{22}.

$$x=\frac{-20+4\sqrt{22}i}{-8}$$

Del -20+4i\sqrt{22} på -8.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} når ± er minus. Trekk fra 4i\sqrt{22} fra -20.

$$x=\frac{-4\sqrt{22}i-20}{-8}$$

Del -20-4i\sqrt{22} på -8.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2} x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Legg til 47 på begge sider av ligningen.

$$-4x^{2}+20x-47-\left(-47\right)=-\left(-47\right)$$

Når du trekker fra -47 fra seg selv har du 0 igjen.

$$-4x^{2}+20x=-\left(-47\right)$$

Trekk fra -47 fra 0.

$$-4x^{2}+20x=47$$

Del begge sidene på -4.

$$\frac{-4x^{2}+20x}{-4}=\frac{47}{-4}$$

Hvis du deler på -4, gjør du om gangingen med -4.

$$x^{2}+\frac{20}{-4}x=\frac{47}{-4}$$

Del 20 på -4.

$$x^{2}-5x=\frac{47}{-4}$$

Del 47 på -4.

$$x^{2}-5x=-\frac{47}{4}$$

Divider -5, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -\frac{5}{2}. Legg deretter til kvadratet av -\frac{5}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{47}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{5}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{-47+25}{4}$$

Legg sammen -\frac{47}{4} og \frac{25}{4} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{11}{2}$$

Faktoriser x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{2}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{2}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{22}i}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{22}i}{2}$$

Legg til \frac{5}{2} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2} x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$