Løs -3x^2-2x+5=0

$$-3 { x }^{ 2 } -2x+5 = 0$$

Løs for x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=1$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som -3x^{2}+ax+bx+5. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-2 ab=-3\times 5=-15$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -15.

$$1,-15 3,-5$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-15=-14 3-5=-2$$

Løsningen er paret som gir Summer -2.

$$a=3 b=-5$$

Skriv om -3x^{2}-2x+5 som \left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-5x+5\right).

$$\left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-5x+5\right)$$

Faktor ut 3x i den første og 5 i den andre gruppen.

$$3x\left(-x+1\right)+5\left(-x+1\right)$$

Faktorer ut det felles leddet -x+1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(-x+1\right)\left(3x+5\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse -x+1=0 og 3x+5=0.

$$x=1 x=-\frac{5}{3}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-3x^{2}-2x+5=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -3 for a, -2 for b og 5 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 5}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrer -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-3\right)\times 5}}{2\left(-3\right)}$$

Multipliser -4 ganger -3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+12\times 5}}{2\left(-3\right)}$$

Multipliser 12 ganger 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+60}}{2\left(-3\right)}$$

Legg sammen 4 og 60.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{64}}{2\left(-3\right)}$$

Ta kvadratroten av 64.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±8}{2\left(-3\right)}$$

Det motsatte av -2 er 2.

$$x=\frac{2±8}{2\left(-3\right)}$$

Multipliser 2 ganger -3.

$$x=\frac{2±8}{-6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{2±8}{-6} når ± er pluss. Legg sammen 2 og 8.

$$x=\frac{10}{-6}$$

Forkort brøken \frac{10}{-6} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{2±8}{-6} når ± er minus. Trekk fra 8 fra 2.

$$x=-\frac{6}{-6}$$

Del -6 på -6.

$$x=1$$

Ligningen er nå løst.

$$x=-\frac{5}{3} x=1$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}-2x+5=0$$

Trekk fra 5 fra begge sider av ligningen.

$$-3x^{2}-2x+5-5=-5$$

Når du trekker fra 5 fra seg selv har du 0 igjen.

$$-3x^{2}-2x=-5$$

Del begge sidene på -3.

$$\frac{-3x^{2}-2x}{-3}=-\frac{5}{-3}$$

Hvis du deler på -3, gjør du om gangingen med -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-3}\right)x=-\frac{5}{-3}$$

Del -2 på -3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{5}{-3}$$

Del -5 på -3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{5}{3}$$

Del \frac{2}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{1}{3}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{1}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{1}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{5}{3}+\frac{1}{9}$$

Legg sammen \frac{5}{3} og \frac{1}{9} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{16}{9}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{9}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{4}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{4}{3}$$

Trekk fra \frac{1}{3} fra begge sider av ligningen.

$$x=1 x=-\frac{5}{3}$$