Løs -3x^2+16x+128=0

$$-3 { x }^{ 2 } +16x+128=0$$

Løs for x

$$x = \frac{8 \sqrt{7} + 8}{3} \approx 9,722003496$$

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}\approx -4,388670163$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-3x^{2}+16x+128=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -3 for a, 16 for b og 128 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-3\right)\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrer 16.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-3\right)\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

Multipliser -4 ganger -3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+12\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

Multipliser 12 ganger 128.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+1536}}{2\left(-3\right)}$$

Legg sammen 256 og 1536.

$$x=\frac{-16±\sqrt{1792}}{2\left(-3\right)}$$

Ta kvadratroten av 1792.

$$x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{2\left(-3\right)}$$

Multipliser 2 ganger -3.

$$x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6} når ± er pluss. Legg sammen -16 og 16\sqrt{7}.

$$x=\frac{16\sqrt{7}-16}{-6}$$

Del -16+16\sqrt{7} på -6.

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6} når ± er minus. Trekk fra 16\sqrt{7} fra -16.

$$x=\frac{-16\sqrt{7}-16}{-6}$$

Del -16-16\sqrt{7} på -6.

$$x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3} x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+16x+128=0$$

Trekk fra 128 fra begge sider av ligningen.

$$-3x^{2}+16x+128-128=-128$$

Når du trekker fra 128 fra seg selv har du 0 igjen.

$$-3x^{2}+16x=-128$$

Del begge sidene på -3.

$$\frac{-3x^{2}+16x}{-3}=-\frac{128}{-3}$$

Hvis du deler på -3, gjør du om gangingen med -3.

$$x^{2}+\frac{16}{-3}x=-\frac{128}{-3}$$

Del 16 på -3.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=-\frac{128}{-3}$$

Del -128 på -3.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=\frac{128}{3}$$

Del -\frac{16}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{8}{3}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{8}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{128}{3}+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{8}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{128}{3}+\frac{64}{9}$$

Legg sammen \frac{128}{3} og \frac{64}{9} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{448}{9}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{448}{9}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{448}{9}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{8}{3}=\frac{8\sqrt{7}}{3} x-\frac{8}{3}=-\frac{8\sqrt{7}}{3}$$

Legg til \frac{8}{3} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3} x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}$$